Applications et image réciproque

[Majaspique]

Bonjour,
j'ai du mal à résoudre cet exercice sur les ensembles, applications et images réciproques :

Soit f une application de E dans F.
On définit l'application g : P(F) -> P(E) par :

1.Montrer que g est injective si et seulement si f est surjective.
2.Montrer que g est surjective si et seulement si f est injective.

Voici mes recherches :
1. On a une équivalence donc on montre les deux côtés :
Supposons g injective. Montrons que f est surjective .
On a égalité d'ensembles, on procède par double inclusion :
(propriété)
Je bloque ici : j'ai essayé ça :
Soit , montrons que . J'ai ensuite essayé de changer l'expression avec puis d'utiliser l'injectivité de g mais je n'aboutit pas.

Ensuite, l'autre sens est basé sur le même principe :
Supposons f surjective. Montrons que g est injective
(propriété)
De même, je bloque :
Soit Montrons que . J'ai aussi essayé de changer l'expression et d'utiliser la surjectivité de f mais rien n'y fait.

Merci d'avance pour votre aide !

[chan79]

salut
Juste une petite contribution pour le 1
On suppose que g est injective.
Montrons que f est surjective.
Si ce n'était pas le cas, il existerait un élément x de F sans antécédent par f.
On aurait alors g(F)=g(F-{x})
impossible puisque g est injective
donc f est surjective
c'est analogue dans l'autre sens

[mathelot]

bonsoir,
on peut utiliser deux résultats de la théorie des ensembles:
Soit


f est injective ssi il existe
telle que

où designe l'application identité sur l'ensemble X.

f est surjective ssi il existe
telle que

(on utilise l'axiome du choix)
En notant l'application


on obtient;


donc f injective

De même

[Majaspique]

Merci de vos réponses.

salut
Juste une petite contribution pour le 1
On suppose que g est injective.
Montrons que f est surjective.
Si ce n'était pas le cas, il existerait un élément x de F sans antécédent par f.
On aurait alors g(F)=g(F-{x})
impossible puisque g est injective
donc f est surjective
c'est analogue dans l'autre sens

J'ai du mal à comprendre les deux lignes en bleu.

bonsoir,
on peut utiliser deux résultats de la théorie des ensembles:
Soit


f est injective ssi il existe
telle que

où designe l'application identité sur l'ensemble X.

f est surjective ssi il existe
telle que

(on utilise l'axiome du choix)
En notant l'application


on obtient;


donc f injective

De même

Je ne suis pas sûr d'avoir le droit d'utiliser des résultats qui ne sont pas dans mon cours. Cependant il y a quelques trucs que je ne comprends pas :
- On n'a pas d'application h de ce type
- L'application est bien l'application g? si c'est le cas, comment faire pour l'appliquer à la ligne après (avec ) ?
- C résultat ne me permet pas de démontrer que g est injective ou surjective si f l'est ?

[Ben314]

Salut,
Pour pas te redonner la même indic que chan, je vais te faire l'autre implication "f surjective => g injective".
Là où tu cherche quand même sacrément la merde, c'est de vouloir montrer ça : pour montrer que est injective.
Déjà, ça déconne vu que, si alors "g injective", ça équivaut à donc, vu qu'ici , ben l'injectivité de g, ça équivaut à avec un qui parait bien chiant à manipuler.
Ensuite, cette propriété en bleu est effectivement équivalente à l'injectivité de g, mais elle est clairement plus compliquée à vérifier que la définition même d'injectivité donc la plupart du temps, (mais évidement pas toujours), on se sert plutôt du sens "g injective => le truc en bleu" plutôt que le contraire.

Bref, pour montrer que g est injective, c'est plus simple d'utiliser la définition elle même, à savoir montrer que tout (ensemble d'arrivé de g) admet au plus un antécédent, soit encore que si B et B' de (ensemble de départ de g) sont deux antécédents du même A (c'est à dire qu'ils ont la la même image), alors ils sont forcément égaux.
On suppose donc que f est surjective et on prend deux parties B et B' de F qui ont la même image par g, c'est à dire tels que g(B)=g(B') soit encore ce qui implique que .
Mais, comme f est surjective, on sait que et que donc on a bien B=B' et ça prouve l'injectivité de g.

[chan79]

Si ce n'était pas le cas, il existerait un élément x de F sans antécédent par f.
On aurait alors g(F)=g(F-{x})
impossible puisque g est injective
donc f est surjective
c'est analogue dans l'autre sens

comme x n'a pas d'antécédent, l'ensemble des antécédents de F est bien égal à l'ensemble des antécédents de F-{x} soit g(F)=g(F-{x})
impossible car F serait égal à F-{x}

[Majaspique]

Si ce n'était pas le cas, il existerait un élément x de F sans antécédent par f.
On aurait alors g(F)=g(F-{x})
impossible puisque g est injective
donc f est surjective
c'est analogue dans l'autre sens

comme x n'a pas d'antécédent, l'ensemble des antécédents de F est bien égal à l'ensemble des antécédents de F-{x} soit g(F)=g(F-{x})
impossible car F serait égal à F-{x}

J’ai essayé avec des quantificateurs :
Supposons f non surjective : il existe mais je ne vois pas comment obtenir l’égalité que tu as donné (g(F)) = g(F\{x}) (si il est possible, sans faire de « phrases »)

[chan79]

Pourquoi ne pas vouloir faire de phrases ?
g(F) est l'ensemble des antécédents des éléments de F par f.
g(F\{x}) est l'ensemble des antécédents des éléments de F sauf ceux de x.
Mais comme x n'a pas d'antécédent ...

[mathelot]

bonsoir,
montrons que (f non injective) ( non surjective)
f non injective
il existe x et y tels que

Dans il y a l'élément y mais aussi l'élément x.
donc {y} , comme singleton,n'est pas une image réciproque (il manque x dans l'image réciproque de f(y))
donc n'est pas surjective car
conclusion par contraposée: ( surjective) (f injective)

[mathelot]

bonsoir,
on peut utiliser deux résultats de la théorie des ensembles:
Soit



f est surjective ssi il existe
telle que

(on utilise l'axiome du choix)
Je ne suis pas sûr d'avoir le droit d'utiliser des résultats qui ne sont pas dans mon cours. Cependant il y a quelques trucs que je ne comprends pas :
- On n'a pas d'application h de ce type
- L'application est bien l'application g? si c'est le cas, comment faire pour l'appliquer à la ligne après (avec ) ?
- C résultat ne me permet pas de démontrer que g est injective ou surjective si f l'est ?

l'application h est un inverse à droite de f. Elle est construite de la manière suivante:
pour tout , il existe tel que f(x)=z. pour chaque z, on choisit un antécédent dans que l'on appelle h(z). On a donc une application h qui vérifie