Groupes de matrices

[Dububu]

Bonsoir tout le monde,

Après avoir démontrer que SL2(Z) est un groupe.
SL2(Z) étant les matrices 2x2 dont leur déterminant=1.
Voici la question avec laquelle j'ai quelques soucis :
Prouver que si M (appartenant à SL2(Z)) a ordre fini m alors m appartient à {2,3,4,6}.

Mon problème c'est :

(M étant la matrice dont la première ligne = a b et la seconde = c d)
Si M a pour ordre m cela signifie que M à la puissance m est égal à la matrice identité. ( M étant l'élement du groupe SL2(Z)

Si m=2 :
Cela signifie que M²=Id
En calculant la matrice M², j'obtiens un système à 5 équations les 4 plus celle obtenue avec le déterminant de M qui doit être égale à 1 et il m'est impossible de trouver a b c d donc m ne peut être égale à 2 d'où mon problème avec l'énoncé.

C'est pourquoi j'aurai aimé savoir ce qui cloque avec ce que j'ai fait :).

Merci.

Dububu.

[simplet]

je dis ce qui me passe par la tete:
M^m=id
donc det(M^m)=1
ie (detM)^m=1 car det(AB)=detA . detB
ie 1^m=1 car M est dans SL2

ca sert a qq chose vous croyez??

[simplet]

SL2(Z) étant les matrices 2x2 dont leur déterminant=1.
Si est M dans SL2(Z) étant la matrice dont la première ligne = a b et la seconde = c d)




ca ve pas dire que a et c sont premiers (ou b et d) par Bezout?? c'est rigolo!!

[nuage]

Salut,
juste une remarque : en écrivant M² =Id je trouve seulement 3 équations différentes.

A+

[Dububu]

Oui il faut que 1^m=1 cependant donc c'est censé être possible pour m=2 ou 3 4 et 6 mais aussi 1 5 etc..

D'où les deux problèmes en fait que j'ai :

m peut prendre les valeurs d'autres valeurs autres que 2 3 4 et 6 (en contradicition avec l'énoncé)

et si m=2, ca ne marche pas avec ce que j'ai fait.

[yos]

Cayley Hamilton!!

[Dububu]

j'ai peur de mal comprendre le sens de l'ordre d'un de M.

M appartient à SL2(Z)
Ce que je comprends par le sens de l'ordre de M c'est l'ordre de l'élément du groupe SL2(Z) et donc que M^m=Id .

(Cela ne signifie pas que M est une matrice mxm si m est l'ordre enfin ce que je crois)
Je ne sais pas à quoi me servirait Cayley-Hamilton.

[abcd22]

Bonsoir,
M est annulée par le polynôme qui est à racines simples dans , donc elle est diagonalisable dans , et ses valeurs propres sont des racines de , donc des racines m-ièmes de l'unité, et comme M est d'ordre exactement m ces valeurs propres doivent être des racines primitives m-ièmes de l'unité. On peut calculer Tr M en fonction des valeurs propres, et ...

Dububu : tu pars dans la mauvaise direction dans tes calculs, on demande de prouver que si m est d'ordre fini, alors cet ordre est 2, 3, 4 ou 6, on ne demande pas de montrer qu'il y a des matrices de ces ordres, toi tu essaies de trouver des matrices d'ordre 2, que tu trouves ou pas ça ne sert à rien pour l'exercice (mais on sait qu'il y en a : -Id est dans et est d'ordre 2). Si on voulait résoudre de manière complètement calculatoire cet exercice il faudrait trouver les équations vérifiées par les entiers relatifs a, b, c et d tels que la matrice soit de déterminant 1 et d'ordre m, et montrer que ces équations n'ont pas de solution si , ce qui risque d'être assez fastidieux (il faudrait calculer les coefficients de la puissance m-ième de M en fonction des coefficients de M, pour tout m)...

[yos]

Le théorème de cayley-Hamilton affirme que le polynôme X²-tX+1 annule la matrice M. L'entier t n'est autre que Tr(M).
Comme l'a dit abcd22, les racines de ce polynôme sont des racines de l'unité.

Si ces racines sont réelles, il s'agit de 1 (racine double) ou -1 (racine double) mais pas -1 et 1 sinon le déterminant vaudrait -1. Dans le premier cas M est d'ordre 1, dans le second cas elle est d'ordre 2 (il s'agit de l'ordre au sens de l'ordre d'un élément du groupe SL2(Z) et pas de l'ordre de la matrice au sens de la taille de la matrice : il y a eu confusion dans un message plus haut).

Si ces racines sont non réelles, elles s'écrivent et .
On a , mais t est un entier donc t est l'un des entiers 1, -1, 2, -2, et donc ces racines sont -j et -j², ou j et j², ou
i et -i.
Le polynôme caractéristique est donc X²+1 ou X²-X+1 ou X²+X+1, et ces polynômes divisent ou .

[Dububu]

Je comprends mieux merci beaucoup

Je dois avouer que je ne pensais pas aux polynomes caractéristiques en fait.

Bien je vais essayer de travailler tout ça car faut que je progresse !