Suite décroissante

[BenoîtL-21]

Bonjour à tous,
J'ai une suite définie par u1>0 et un+1=1/(n*exp(un)).
J'ai prouvé que un tend vers 0 et je dois prouver que (un) est décroissante à partir d'un certain rang.
Avez-vous des idées ?
Merci.

[Landstockman]

Qu'as-tu essayé de faire ?
Tu connais les méthodes classiques pour montrer la décroissance d'une suite ?
(Tu peux t'aider de ce que tu as déjà montré)

[aviateur]

Bonjour
C'est assez étonnant que tu aies démontré que (u_n) cv vers zéro (ou alors tu as une démo un peu particulière) car le fait que la suite (u_n) est décroissante à partir de n=2 est une conséquence immédiate.

On a pour tout n>1.
Donc

[BenoîtL-21]

Bonjour Aviateur et merci !
J'ai bien prouvé un<1/(n-1), mais cela donne un+1/un>... donc ça ne marche pas comme cela.
J'ai bien constaté sur des tas d'exemples que j'ai programmés que la suite est décroissante à partir de n=2, mais la preuve me file entre les doigts chaque fois que je tente quelque chose.
Benoît

[Landstockman]

Bonjour,

Aviateur vient de te donner la solution :

Pour montrer que la suite est décroissante, tu montre que u(n+1)/u(n)<1, et c'est ce qu'il a fait en utilisant u(n)<1/(n-1)

[Ben314]

Salut,
Perso., sauf astuce que je ne vois pas, je suis d'accord avec BenoîtL-21 : la majoration n'est pas suffisante pour conclure.
Par contre, en "poussant un cran plus loin", ça risque de marcher :
Pour tout , on a donc
Ce qui signifie que .

Ensuite, pour tout , on a les équivalences :

Et, vu l'inégalité (*), pour montrer un tel résultat pour , il suffit (*) de montrer que

Ce qui semble faisable (éventuellement via une ou des études de fonctions).

Vu la complexité de cette dernière formule, on se dit que ça serait pas con de faire plus simple, mais je vois pas trop comment procéder...

(*) Ce n'est pas un "il faut et il suffit", mais vu que la minoration (*) est "assez précise", ça serait étonnant que ça marche pas avec cette minoration là.

EDIT : en regardant de plus prés, ça se fait bien et la "grosse exponentielle" (en bleu), en fait, on peut se contenter de dire qu'elle est vu qu'on arrive à montrer que, pour assez grand, .

[aviateur]

Bonjour
Ok je me suis trompé. Grosse erreur d'étourderie: La majoration de u_n ne permet pas de majorer
!!!

[aviateur]

Rebjr, sur des exemples on conjecture que la suite est décroissante et "assez vite" mais cependant pas forcément à partir du rang 2.
Or on demande de montrer que la suite est décroissante à partir d'un certain rang (peu importe la connaissance du rang). Alors je propose cette démonstration qui ne demande qu'un petit calcul:

On sait déjà que cv vers 0 i.e

On a donc
On a donc Et on réinjecte ça dans :

on a donc
Mais (et )
donc
On en déduit alors
Ce qui montre qu'à partir d'un certain rang
,

c'est à dire que la suite est décroissante à partir d'un certain rang.

[Ben314]

Heuuuuuu....
Je suis pas bien convaincu que, quand on développe, le produit des termes en rouge donne un O(1/n)...

[aviateur]

Effectivement, il y a de quoi ne pas être convaincu. En fait le o(1) et un o(1/n) obtenu en réinjectant un o(1) dans ce que j'ai oublié de faire.
En fait on a u_n=1/n+o(1/n) puis ensuite u_n=1/n+o(1/n^2).
Alors je corrige en bleu. Je modifie la fin aussi (différence à la place du quotient) . La différence étant plus pratique ici.

[BenoîtL-21]

Bon d'abord merci à tous de vous être penchés sur mon problème!!!

En effet la solution d'aviateur finit par marcher : en réinjectant u_n=1/n+O(1/n²) (ce que j'ai déjà prouvé) dans u_n+1, on obtient bien u_n=1/n+o(1/n²) (ou même +O(1/n^3). Puis en réinjectant cela dans u-n+1 - u_n : -1/n²+o(1/n²) d'où la négativité à partir d'un certain rang et la décroissance idem.

Dans la pratique, cela a l'air de se mettre à décroître très vite, mais peut-être qu'en choisissant bien u_1, cela peut ne se produire qu'à partir du rang 3 ou 4.

Super ! Merci beaucoup à tous !! Il y a un bon moment que je m'arrache les cheveux là-dessus.