Salut,
Perso., sauf astuce que je ne vois pas, je suis d'accord avec BenoîtL-21 : la majoration
n'est pas suffisante pour conclure.
Par contre, en "poussant un cran plus loin", ça risque de marcher :
Pour tout
, on a
donc
Ce qui signifie que
.
Ensuite, pour tout
, on a les équivalences :
Et, vu l'inégalité (*), pour montrer un tel résultat pour
, il suffit (*) de montrer que
Ce qui semble faisable (éventuellement via une ou des études de fonctions).
Vu la complexité de cette dernière formule, on se dit que ça serait pas con de faire plus simple, mais je vois pas trop comment procéder...
(*) Ce n'est pas un "il faut et il suffit", mais vu que la minoration (*) est "assez précise", ça serait étonnant que ça marche pas avec cette minoration là.
EDIT : en regardant de plus prés, ça se fait bien et la "grosse exponentielle" (en bleu), en fait, on peut se contenter de dire qu'elle est
vu qu'on arrive à montrer que, pour
assez grand,
.