Division Euclidienne

[pffffffffff]

Bonjour,

Je cherche à trouver le reste du division euclidienne mais je bloque...

Ma division est la suivante :

avec

Je pensais factoriser P pour simplifier la division mais
ça ne m'aide pas énormément...

En factorisant P dans R[X], j'obtiens puis en faisant la division de je ne trouve pas de résultat "précis";

Merci d'avance

[infernaleur]

Salut,
quand tu fais la division euclidienne de X^n par P quel sera le degré du reste ?

[aviateur]

Bonjour Vu que p(1)=p'(1)=p(2)=0 et que le reste r(x) est un polynôme de degré 2
j'écris l'inconnu r(x) sous la forme générale suivante:


Pour simplifier je pose h(x)=x^n et q(x) le quotient

Comme h(x)=p(x) q(x) +r(x)
alors h(1)=r(1) h(2)=r(2) et h'(1)=r'(1).
Il reste à calculer h(1),h(2) et h'(1)..

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Ok, merci beaucoup pour vos réponses !
Par contre, je ne comprend pas comment vous obtenez, r(x) sous la forme générale ?

[Ben314]

Salut,
A mon avis, vu que tu en est au B-A-BA de l'arithmétique sur les polynômes, je pense que ça serait préférable (dans un premier temps en tout cas) d'utiliser une méthode moins subtile que celle donnée par aviateur :

Par définition, le reste de la division euclidienne de par , il est de degré <3 et il est tel que

- Dans cette égalité, si tu prend (qui est racine de ), ça te dit quoi ?
- Et si tu prend (qui est aussi racine de ), ça dit quoi ?
- Et si tu dérive les deux membres de l'égalité puis que tu prend (qui est non seulement racine de , mais racine double donc qui est aussi racine de ), ça dit quoi ?
- Des polynôme de degré <3 vérifiant les 3 trucs que tu as trouvé çi dessus, il y en a combien ?

[pffffffffff]

Bonjour,

"Ca" me dit que dans ce cas et c'est les seuls polynômes vérifiant les 3 trucs que je viens de trouver ! YEESSSS
La méthode que vous me proposez est la même que celle d'aviateur non ?

Merci pour les explications

[pffffffffff]

J'ai une autre question, est-ce que ça change quelque chose de changer les polynômes de places et par exemple de mettre ?

[aviateur]

Bonjour
La différence entre ce que je propose et ce que propose @ben la voici.
Mais d'abord ce qu'il y a de commun c'est que A(1)=R(1), A(2)= R(2) et A'(1)=R'(1) (dc 3 équations) .
Une fois que tu sais cela c'est simple: tu as un polynôme R a chercher dans un espace de dim 3.
1. Classiquement tu peux chercher la solution dans une base de cette espace et la base la première qui vient à l'esprit c'est la base canonique. C'est à dire que tu poses
Tu as donc 3 équations et 3 inconnues à résoudre et tu peux le refaire en exercice.
C'est la méthode que propose @ben et bien sûr il faut y penser.
Le prix à payer c'est de résoudre un système.

2. Maintenant comme toujours en algèbre linéaire tu peux changer de base de façon à ne pas avoir de système à résoudre si possible. C'est la méthode que je propose. Mais il y a un prix à payer c'est de trouver cette base.
Sans aller plus loin cette base, tu peux la deviner un peu par toi même ou penser avec l 'interpolation polynomiale de Lagrange et d'Hermite.
Remarque cette façon de procéder est surtout intéressante si ton reste est de degré assez élevé.
En effet si je je demande le reste de par A(x)=(x-1)(x-2),.....(x-10) tu vas te retrouver
avec un système 10x10 qui a tout les chances d'être horrible à résoudre alors qu'avec la seconde méthode
le résultat est (quasi) immédiat.

En résumé effectivement il faut d'abord comprendre la méthode de @ben.

[aviateur]

J'ai une autre question, est-ce que ça change quelque chose de changer les polynômes de places et par exemple de mettre ?

La réponse est non. En effet quand tu remplaces par 2, il faut que le résultat soit R(2).

Donc tu cherches une écriture de R(x) sous la forme

les polynômes étant la base de que je cherche.

J'explique comment je fait pour trouver ( et c'est un peu analogue)

Quand je fais x=2 il faut que et
Déjà ça répond à ta question : ne peut pas avoir le facteur

Mais pour la même raison je doit avoir (car il faut que ) et de même il faut (car il faut que )

Donc 1 est racine double de donc . a doit être tel que d'où

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Merci pour toutes ces explications, même si je ne pense pas que cette technique soit adaptée à mon niveau

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Je trouve le même résultat (heureusement) en passant par le système d'équation mais ça prend tellement plus de temps...
Je sais d'après l'énoncé de mon exercice que et je dois en déduire une expression de comme combinaison linéaire de

Si j'écris :


Est-ce que c'est juste ?

[aviateur]

Oui sans aucun doute.

[aviateur]

Remarque vu ta dernière question ton exercice est une application du théorème de Caley-Halmilton
(ou mieux une application du polynôme minimal d'une matrice carrée)

Si et le polynôme caractéristique de A.
C-H dit que P(A)=0 donc tu as ton polynôme qui te sert à calculer
Dans la pratique on préfère choisir le polynôme minimal annulateur de A (qui est un diviseur de P).

Comme par exemple
vérifie Le polynôme minimal
Le reste de la division de par P est de degré 1, il est de la forme

D'où
Application
sans se fatiguer.

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Ah bah oui suis-je bête, pourquoi n'y ai-je pas pensé avant...
mais en écrivant , je n’obtiens pas comme vous..

Merci

[aviateur]

Attention! es-tu sûr d'avoir compris?
Mon exemple ce n'est pas le tien!!!! on n'a pas le même polynôme P.

[pffffffffff]

Non, je n'avais pas compris mais mon problème est résolu, j'ai compris comment faire.
Merci quand même !