Logique arithmétique - Factorisation

[raphy25]

Bonjour,

Si un nombre n'est pas divisible (comprendre que le quotient n'est pas un entier relatif) par un nombre , alors n'est pas non plus divisible par aucun multiple de .

Si c'est vrai ou faux, mis à part l'intuition, ma question est : comment le démontrer ?

Merci à vous !

[Ben314]

Salut,
Le plus simple et de très loin, c'est d'utiliser la contraposition :
Rappel : Une implication P => Q dit exactement la même chose que non(Q) => non(P) (qu'on appelle la contraposée de celle de départ)
Ici, c'est quoi la contraposée de "Si a n'est pas divisible par b alors a n'est divisible par aucun multiple de b" ?

[raphy25]

Ici, c'est quoi la contraposée de "Si a n'est pas divisible par b alors a n'est divisible par aucun multiple de b" ?

Edit (Faux) Je suppose : 'Si a est divisible par b, alors a est divisible par tous les multiples de b'.

Plutôt : 'Si a est divisible par tous les multiples de b, alors a est divisible par b'.

Ce qui est faux, je pense. Mais là encore, je ne vois pas comment le démontrer.

[Pseuda]

Bonjour,

Ce que tu as écrit n'est pas la contraposée. La contraposée, c'est : si non Q, alors non P.

Q = "a n'est divisible par aucun multiple de b"
non Q = "il existe..."

[raphy25]

@Pseuda ta réponse et mon edit se sont croisés.

[Pseuda]

Ce n'est pas encore ça. La 2ème partie de la phrase est bonne, mais la 1ère partie : la négation d'un "quelque soit" est "il existe", et inversement.

"aucun multiple de b ..." est un "quelque soit". Sa négation est "il existe ...? ".

[raphy25]

Donc : 'S'il existe un multiple de b par lequel a est divisible, alors est divisible par b.'

[Pseuda]

C'est ça. Dit autrement (version allégée) : "si a est divisible par un multiple de b, alors..." ou "si un multiple de b divise a, alors ...".

[raphy25]

'Si a est divisible par un multiple de b, alors a est divisible par b'.

Nous avons démontré par contraposition que cette proposition est strictement équivalente à la première. Il est aussi plus facile de l'imaginer. Mais je n'arrive toujours pas à me formuler cela de manière logiquement irréfutable.

Par exemple, si je sais que 81 est divisible par 9, il ne me paraît pas évident qu'il le soit aussi par 3 (il l'est, pour donner 27)...?

[beagle]

'Si a est divisible par un multiple de b, alors a est divisible par b'.

Nous avons démontré par contraposition que cette proposition est strictement équivalente à la première. Il est aussi plus facile de l'imaginer. Mais je n'arrive toujours pas à me formuler cela de manière logiquement irréfutable.

Par exemple, si je sais que 81 est divisible par 9, il ne me paraît pas évident qu'il le soit aussi par 3 (il l'est, pour donner 27)...?

ben ptète que si tu démontrais la contraposée cela aiderait, non?
parce que on ne t'a pas demandé d'écrire une équivalence.
On t'as suggéré d'utiliser une équivalence pour faire une démonstration.
Donc comment tu écrits a divisible par un multiple de b?
Comment tu écrits un multiple de b pour commencer.
Et si ce multiple de b divise a, alors comment on écrit a avec ce multiple de b...

[pascal16]

Si a est divisible par un multiple de b
ce multiple de b s'écrit kb, avec k entier relatif
a divisible par kb, il existe donc k'entier relatif tel que a=k'(kb) = (kk')b
alors a est divisible par b

NB : il faut accepter tout nombre comme diviseur du nombre 0 pour une équivalence parfaite

[Viko]

quantifier un peu cette histoire ne serait pas trop je pense ! tu cherches à montrer :



maintenant calcule la contraposée sachant que (attention notation trés trés abusive) non() =

[nodgim]

On peut avoir également ce raisonnement là :
"a" n'est pas divisible par "b" équivaut à dire qu'il n'existe aucun multiple de "b" égal à "a". Comme le multiple d'un multiple est aussi un multiple, il n'y a donc pas de multiple de multiple de "b" égal à "a", donc " a " n'est pas divisible par un multiple de "b " .