[PREPA ECE] Valeurs Propres

[RoadToPau]

Bonjour,
Je suis actuellement en prépa ECE en deuxième année. J'ai plutôt un bon niveau en maths, mais ayant voulu retravailler l'algèbre linéaire, je fut très étonné : impossible de calculer des valeurs propres (des matrices d'ordre 3) alors que j'avais toujours réussi !
Je sais que ça peut paraître étrange mais j'ai un blocage; j'avais toujours utilisé la méthode qui consistait à poser pour une matrice A dont on cherche les valeurs propres; A - lambda I. Et par la suite avec le pivot de GAUSS je faisais en sorte que la matrice soit triangulaire (inférieure ou supérieure) pour regarder les valeurs de lambda qui faisaient que la diagonale avait au moins l'un de ses coefficients nuls.
Je n'y arrive plus du tout; impossible d'aller sur internet et de trouver un calcul de valeur propres à l'aide du pivot de GAUSS détaillée; pareil dans mes livres...
Je me suis donc intéressé au calcul du déterminant après plusieurs recherches; et il me semble avoir compris comment calculer un déterminant avec la formule : det(A) = coefficient de la première ligne, première colonne * cofacteur correspondant à la première ligne, première colonne + coefficient de la première ligne, deuxième colonne * cofacteur correspondant à la première ligne, deuxième colonne + coefficient de la première ligne, troisième colonne * cofacteur correspondant à la première ligne, troisième colonne.
La formule est-elle juste ? Me permet-elle bien de connaitre les valeurs propres de ma matrice une fois que j'ai calculé les racines du déterminant det(A-lambda I) ?
D'avance merci !

[Pseuda]

Bonjour,
Je suis actuellement en prépa ECE en deuxième année. J'ai plutôt un bon niveau en maths, mais ayant voulu retravailler l'algèbre linéaire, je fut très étonné : impossible de calculer des valeurs propres (des matrices d'ordre 3) alors que j'avais toujours réussi !
Je sais que ça peut paraître étrange mais j'ai un blocage; j'avais toujours utilisé la méthode qui consistait à poser pour une matrice A dont on cherche les valeurs propres; A - lambda I. Et par la suite avec le pivot de GAUSS je faisais en sorte que la matrice soit triangulaire (inférieure ou supérieure) pour regarder les valeurs de lambda qui faisaient que la diagonale avait au moins l'un de ses coefficients nuls.
Je n'y arrive plus du tout; impossible d'aller sur internet et de trouver un calcul de valeur propres à l'aide du pivot de GAUSS détaillée; pareil dans mes livres...
Je me suis donc intéressé au calcul du déterminant après plusieurs recherches; et il me semble avoir compris comment calculer un déterminant avec la formule : det(A) = coefficient de la première ligne, première colonne * cofacteur correspondant à la première ligne, première colonne coefficient de la première ligne, deuxième colonne * cofacteur correspondant à la première ligne, deuxième colonne +coefficient de la première ligne, troisième colonne * cofacteur correspondant à la première ligne, troisième colonne.
La formule est-elle juste ? Me permet-elle bien de connaitre les valeurs propres de ma matrice une fois que j'ai calculé les racines du déterminant det(A-lambda I) ?
D'avance merci !

Bonjour,

Pour le déterminant, c'est un "-" à la 2ème colonne.
Sinon, tu veux trouver les valeurs propres en posant un système et voir pour quelles valeurs de lambda ce système a une solution autre que le vecteur nul ? Cela revient en effet à résoudre l'équation d'inconnue lambda : det (A) = 0.

[RoadToPau]

Merci pour votre réponse; concernant le moins à la deuxième colonne; n'est-il pas compris dans le cofacteur ? Car la formule du cofacteur que je connais est C(indice i,j) = (-1)^i+j * Mineur(indice i,j)

[Pseuda]

Oups, en effet ! Il est compris dedans. Donc, plus de problème ?

[Ben314]

Salut,
Juste une (mini) remarque : le coup d'utiliser les déterminant plutôt que ce que tu faisait avant, c'est à dire résoudre des système à paramètres, c'est (très) intéressant sur le plan théorique, mais dans la pratique, c'est pas forcément super utile (et c'est surtout pas con de bien comprendre le lien entre les deux).

Je m'explique : Pour calculer un déterminant, il y a certes une "formule de développement" qui est celle que tu cite et qui consiste à développer par rapport à une ligne ou une colonne quelconque (et pas forcément la première ligne) et qui fait apparaître certains sous déterminants (n-1)x(n-1). Sauf que rien que pour des matrices 4x4, c'est on ne peut plus fastidieux de procéder de la sorte (ça conduit à calculer 4 déterminants 3x3 et chacun d'eux conduit à calculer 3 déterminants 2x2).
Bref, si la matrice est "un peu grosse", on utilise aussi d'autres propriétés du déterminant, à savoir qu'il reste inchangé lorsque l'on ajoute à une ligne [ou colonne] une combinaison linéaire des autres lignes [ou colonnes]. Cela permet de mettre des tas de zéro dans la matrice avant d'éventuellement développer par rapport à une ligne ou colonne. On peut même n'utiliser que ça (et ne rien développer du tout) modulo de savoir que le déterminant d'une matrice triangulaire, c'est le produit des termes de la diagonale.
Et dans ce cas là (où on n'a rien développé, mais utilisé des combinaisons linéaires pour rendre la matrice triangulaire), ben ce qu'on a fait, c'est quasi la même chose que ce qu'on aurait fait face à un "système à paramètre" (la seule différence au fond, c'est que pour calculer le déterminant, on a le droit de "jouer" avec les colonnes alors que dans un système, normalement, on ne "joue" qu'avec les lignes)

Résumé : c'est pas con du tout de connaître les déterminants, mais faut surtout pas imaginer que c'est "nettement mieux" que de simplement résoudre des systèmes à paramètres : dans des "vrai cas concrets" (i.e. avec une matrice avec des vrais nombres dedans) où on demande non seulement les valeurs propres mais aussi les vecteurs propres, c'est parfois pas mal plus court en attaquant directement avec des systèmes à paramètres vu qu'une bonne partie du travail fait pour trouver les "valeur spéciales" du paramètre (i.e. les valeur propre) te sert ensuite pour trouver les vecteurs propres.

[RoadToPau]

Salut,
Juste une (mini) remarque : le coup d'utiliser les déterminant plutôt que ce que tu faisait avant, c'est à dire résoudre des système à paramètres, c'est (très) intéressant sur le plan théorique, mais dans la pratique, c'est pas forcément super utile (et c'est surtout pas con de bien comprendre le lien entre les deux).

Je m'explique : Pour calculer un déterminant, il y a certes une "formule de développement" qui est celle que tu cite et qui consiste à développer par rapport à une ligne ou une colonne quelconque (et pas forcément la première ligne) et qui fait apparaître certains sous déterminants (n-1)x(n-1). Sauf que rien que pour des matrices 4x4, c'est on ne peut plus fastidieux de procéder de la sorte (ça conduit à calculer 4 déterminants 3x3 et chacun d'eux conduit à calculer 3 déterminants 2x2).
Bref, si la matrice est "un peu grosse", on utilise aussi d'autres propriétés du déterminant, à savoir qu'il reste inchangé lorsque l'on ajoute à une ligne [ou colonne] une combinaison linéaire des autres lignes [ou colonnes]. Cela permet de mettre des tas de zéro dans la matrice avant d'éventuellement développer par rapport à une ligne ou colonne. On peut même n'utiliser que ça (et ne rien développer du tout) modulo de savoir que le déterminant d'une matrice triangulaire, c'est le produit des termes de la diagonale.
Et dans ce cas là (où on n'a rien développé, mais utilisé des combinaisons linéaires pour rendre la matrice triangulaire), ben ce qu'on a fait, c'est quasi la même chose que ce qu'on aurait fait face à un "système à paramètre" (la seule différence au fond, c'est que pour calculer le déterminant, on a le droit de "jouer" avec les colonnes alors que dans un système, normalement, on ne "joue" qu'avec les lignes)

Résumé : c'est pas con du tout de connaître les déterminants, mais faut surtout pas imaginer que c'est "nettement mieux" que de simplement résoudre des systèmes à paramètres : dans des "vrai cas concrets" (i.e. avec une matrice avec des vrais nombres dedans) où on demande non seulement les valeurs propres mais aussi les vecteurs propres, c'est parfois pas mal plus court en attaquant directement avec des systèmes à paramètres vu qu'une bonne partie du travail fait pour trouver les "valeur spéciales" du paramètre (i.e. les valeur propre) te sert ensuite pour trouver les vecteurs propres.

Merci beaucoup pour cette réponse amplement détaillée et très claire ! C'est parfait, je vais donc m'entrainer sur la méthode avec les systèmes à paramètres afin d'adapter ce que j'utilise selon le problème auquel je fais face !
Encore merci