par Elias » 27 Fév 2018, 00:55
Salut,
Tu n'aurais pas oublié l'hypothèse H fini par hasard ? Car sinon, c'est faux.
Exemple, (R*, x) est un groupe et par exemple, Z* est un sous ensemble non vide stable par produit mais l'inverse dans (R*,x) d'un élément de Z* n'est pas toujours dans Z*.
Ensuite, être stable pour la loi de composition, ça veut dire que pour tous x y dans H, x*y est dans H et en aucun cas ça ne signifie que x^(-1) est dans H (donc il faut le prouver).
Rappelons que si (G, *) est un groupe et H un sous ensemble, alors H est un sous groupe de G si
1) H est non vide ;
2) Pour tous x y dans H, x*y est dans H (stabilité pour la loi de composition)
3) Pour tout x dans H, x^(-1) est dans H (stabilité par inverse)
La condition 1) est souvent remplacée par "H contient le neutre", ce qui revient bien sûr au même.
Du coup, on suppose H fini.
Pour montrer que H est un sous groupe, il reste à montrer la stabilité par inverse.
Si tu prends x dans H , alors x est d'ordre fini car H est fini: il existe n entier non nul tel que x^n = e. L'inverse de x est donc x^(n-1) (avec n-1 dans N) et c'est bien un élément de H car H est stable par produit: x^(n-1)= x * *...* x (n-1 fois).
Pseudo modifié : anciennement Trident2.
