Nombres premiers

[mira]

Bonjour,
On a f(n)=card{k€N*; k<n;pgcd(k,n)=1}
Si n=p^m avec p premier,montrer que
f(n)=p^(m)-p^(m-1).
m€N*.

J'ai essayé avec des nombres mais j'ai trouvé que
f(n)=p^(m)-m+1.
Merci de m'aider à resoudre cet exercice

[vejitoblue]

salut, il suffit de calculer le nombre d'entiers compris entre 1 et n qui sont multiples de p (notons le x) et on conclut f(n) =n-x

[Elias]

Bonjour,
On a f(n)=card{k€N*; k<n;pgcd(k,n)=1}
Si n=p^m avec p premier,montrer que
f(n)=p^(m)-p^(m-1).
m€N*.

J'ai essayé avec des nombres mais j'ai trouvé que
f(n)=p^(m)-m+1.
Merci de m'aider à resoudre cet exercice

Tout d'abord, on peut dire que f (n) = card{k € N* ; k <=n et pgcd(k,n)=1}.
C'est à dire que l'on.peut prendre une inégalité large.
L'ensemble des entiers naturels k non nuls tels que k <=n sont au nombre de n, soit p^m.

Il suffit donc de compter dans cet ensemble les entiers qui ne sont pas premiers avec p^m puis de faire p^m moins le nombre obtenu.

Je crois avoir compris ton erreur. Tu as essayé de compter les nombres qui n'étaient pas premiers avec p^m mais tu en as oublié.

Tu as du te dire que les nombres qui n'étaient pas premiers avec p^m sont p,p^2,...,p^(m-1),p^m. Il y en a m et donc nous devons faire:
p^m -m.


En fait,les nombres qui ne sont pas premiers avec p^m sont :

p ; 2p ; 3p ;... ; (p-1)p ; p^2 ; p^2 (p+1) ;... ; p * (p^(m-1)).

On les obtient tous en partant de p et en faisant p^(m-1) multiplications :
Ce qui nous donne p^(m-1) entiers non premiers avec p^m.

Il vient alors f( p^m) = p^m - p^(m-1).

Exemple avec n= 3^3 = 27.

Les entiers non premiers avec 27 sont :

3*1=3 ; 3*2=6 ; 3*3=9 ; 3*4=12 ; 3*5=15 ; 3*6=18 ; 3*7=21 ; 3*8=24 ; 3*9=3*(3^2)=27.

On en compte 9 =3^2(logique car le dernier etait 3* (3^2))

Donc 27-9=18.
Toi, tu n'as du compter que 3, 9, 27.

[mira]

Un grand merci pour votre effort