Ensembles

[MizaMiza]

Bonjour,
Je vois actuellement les base des principes des ensembles. Notre prof' nous a donner un exercice a préparer afin d'introduire la suite de son cours, mais je ne suis pas capable des les résoudre actuellement. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider a le faire en m'expliquant éventuellement les étapes les moins faciles ? Merci d'avance !

Soient X, Y et Z des ensembles non vides. Soit f : X → Y une fonction,
et soit g : Y → Z une fonction injective. Soient A et B deux sous-ensembles non
vides et distincts de X, et soient C et D deux sous-ensembles non vides et distincts
de Y . Prouver ou r´efuter (avec un contre-exemple) :
a) f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).
b) g(C ∩ D) = g(C) ∩ g(D).
c) Si g ◦ f est injective, alors f est injective.
d) Si g ◦ f est surjective, alors f est surjective

[capitaine nuggets]

Salut !

Les propositions a) et b) sont les mêmes à l’exception près que dan la seconde, on suppose la fonction injective.
Pour voir si a) et b) sont vraies essaie de prendre X, Y, Z et, f et g simples.
Pour c), quelle est la définition d'être injective ?
Pour d), quelle est la définition d'être surjective ?

[MizaMiza]

Saluut !
Voici pour les définitions: http://montefiore.ulg.ac.be/~dtaralla/f ... rj-bij.pdf
Par contre je ne vois pas ce que tu veux dire pour les a et b, pourrais tu développé ?

[beagle]

Pour la a) prend A inter B vide comme exemple,
va-t-on avoir f(A) inter f(B) vide forcément?

[MizaMiza]

Est-ce quelqu'un saurait m'aider svp ? je ne vois toujours pas comment m'y prendre ;(

[pascal16]

a) f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B).

soit x € A inter B.
x fait parti de A, donc f(x) fait parti f(A)
x fait parti de B, donc f(x) fait parti f(B)
f(x) fait parti f(A) inter f(B)

soit y dans f(A) ∩ f(B)
il existe x1 dans A tel que f(x1) =y
il existe x2 dans B tel que f(x2) =y
rien n'impose que x1=x2.
(forcément dans le cas de g, c'est ça qui change)
exemple : une application qui a tout nombre entier associe 3
A: les nombres pairs
B les impairs
A inter B est vide, et pourtant f(A) inter f(B) c'est 3