Probabilité et suite

[chacha778]

Bonjour à tous, j'ai un dm à faire mais je suis bloqué.

Avant le début des travaux de construction d'une autoroute, une équipe d'archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain. Si le n-ème sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est positif

On désigne Vn l'événement < le n-ème sondage est positif > et on note Pn sa probabilité

L'expérience acquise au cours de ce type d'investigation permet de prévoir que :

- si le sondage est positif, la probabilité que le suivant soit aussi positif est 0,6

- si un sondage est négatif, la probabilité que le suivant soit négatif est 0,9

On suppose que le premier sondage est positif, c'est-à-dire que p1= 1

1. Calculez les probabilités des événements:

A:< Les deuxièmes et troisièmes sondages sont positifs>

B:< Les deuxièmes et troisièmes sondages sont négatifs>

Pour P(A) je trouve 0,36 et pour P(B) je trouve aussi 0,36

2. Calculez la probabilité P3 que le troisième sondage soit positif

Je trouve 0,4

3. On désigne par n un entier naturel tel que n > ou égal à 2

Recopiez puis complétez l'arbre ci-dessous en fonction des données de l'énoncé

Je suis désolé d'avance si il est pas très compréhensible, je peux vous joindre une photo sinon si besoin

Vn ---- Vn+1

---------Vn+1 (Barre)

Vn(Barre) ---- Vn+1

------Vn+1(Barre)

4. Prouvez que pour tou entier n> ou égal à 1

Pn+1 = 0,5Pn + 0,1

5. On note la suite définie pour tout entier n > ou égal à 1 Un = Pn - 0,2

a. Démontrez que u est une suite géométrique dont vous préciserez le premier terme et la raison

b. Exprimez Pn en fonction de n

c. Calculez et interprétez la limite de la suite (Pn)

Vu que je suis bloquer au niveau du deuxième arbre je ne peux pas faire le reste, et je ne suis pas sur de mes résultats des premières questions. Merci d'avance pour votre aide !

[Tiruxa47]

Bonjour,

Oui pour les premières questions (1 et 2)

Pour la 3 c'est le cas général
La partie du haut correspond au cas le nème sondage est positif, de proba pn
Donc quelle est la proba que le suivant soit aussi positif ? (à mattre sur la branche la plus haute)

Pour le bas , c'est le cas le nème sondage est négatif de proba (1- pn)
Donc quelle est la proba que le suivant soit aussi négatif ? (à mettre sur la branche la plus basse)

[chacha778]

Cela me fait alors que sur toutes les branches de Vn et Vn+1 j'ai Pn et pour toutes les Vn+1 (Barre) j'ai 1- Pn ?

[Tiruxa47]

Non pn et 1-pn sont sur les branches du premier niveau de l'arbre (les plus à gauche sur l'arbre)
Au deuxième niveau (à droite donc) ce sont des probas conditionnelles (elles sont données en partie dans l'énoncé)

[chacha778]

Donc admettons pour la première branche Vn a me fait Pn * 0,6 ?

[pascal16]

Vn : le sondage est positif, donc pour le sondage suivant, il est positif avec une proba de 0.6 et négatif avec une proba de 0.4
Vn --0.6-- Vn+1

------0.4---Vn+1 (Barre)

tu fais pareil avec "Vn barre"le sondage est négatif, donc pour le sondage suivant, il est positif avec une proba de 0.1 et négatif avec une proba de 0.9

puis tu fais la formule des proba totale pour avoir Pn+1 en fonction de Pn

[chacha778]

Pour l'arbre j'ai réussi à le faire ( question 3) j'ai mis Pn et ( 1-Pn) pour les premières branches et fait avec les valeurs pour le reste, pour P(B) certains m'ont dit que le résultat n'était pas 0,36 pourtant c'est bien ce que je trouve moi..

[pascal16]

= Pn*0.6+(1-Pn)*0.1
=(1-Pn)*0.9+Pn*0.4

les deux équations sont équivalentes, on a Pn+1=0.5Pn+0.1

P1=1
P2=0.6
P3=0.4

P(A)=0.36=0.6*0.6
P(B)est bien 0.36=0.4*0.9, continue
P(B) ne peut pas être calculé directement avec la suite Pn

[chacha778]

La 4 du coup est faite
Pour la 5a. j'ai fais Un+1 = Pn+1 - 0,2 soit 0,5Pn + 0,1 - 0,2 soit 0,5*(Pn-0,2) = (1/2)* (Pn-0,2) soit (1/2)Un
donc géométrique de raison 1/2 et de premier terme 0,8
b. Pn = 0,8 * (1/2) ^(n+1) = 0,2
c. Quand n tend vers + l'infini alors 0,8 * (1/2)^(n+1) tend vers 0 donc Pn tend vers 0,2 ?

[Tiruxa47]

Oui pour le a)
mais au b) c'est Un qui est géométrique et non pas Pn

Donc Un = U1 * 0.5^(n-1)

Comme Un = Pn -0.2 on en déduit Pn, en efet la limite est 0.2

[chacha778]

Ah oui en effet petite erreur de ma part, merci !!

[pascal16]

reste à conclure, on trouve 0.2 indépendamment du résultat du premier sondage, donc...

[chacha778]

Donc ? Je ne vois pas ce qu'il faut conclure

[pascal16]

la probabilité au bout d'un grand nombre tend vers une valeur (appelé en fait état stable) indépendante des conditions de départ. On a donc 2 résultats : on a un limite fixe et elle est indépendante du premier sondage, positif ou négatif.