Intégrale généralisé

[Léa312464651]

Bonjour,
Je suis tombé sur un exercice avec cette intégrale :
Il faut montrer que F(x) est C1 et calculer sa dérivée puis en déduire F(x)

Tout d'abord, j'ai montré son existence, en posant g(x,t) la fonction à l'intérieur de l'intégrale . La fonction est continue sur R*, en 0 g est intégrable par un prolongement par continuité, et en +infini la fonction tend vers 0 donc également intégrable .
Ensuite, j'applique simplement le théorème du cours, je vous passe toute les hypothèses, et je démontre que F(x) est C1 et que F'(x)=

Mais ensuite quand ils demandent d'en déduire F(x), je n'y arrive pas, j'ai tenté une double intégration par partie mais cela n'a pas aboutit, auriez vous une idée ?

Merci d'avance

[Mimosa]

Bonjour

C'est pourtant la bonne méthode. Une première intégration par parties avec et , puis une seconde sur le même principe (on intègre l'exponentielle).

[Léa312464651]

Bonjour Mimosa,

C'est bien ce que j'ai tenté de faire, mais au final je me retrouve avec F'(x)=-x² F'(x)
Et là, je trouve ce résultat qui me semble faux, cela peut-il correspondre ?


Merci d'avance

[aviateur]

Bonjour,
à mon avis dans ton ipp tu as dû oublier un terme qui vaut 1 (ou moins).
Sinon au lieu de faire 2 ipp, on peut intégrer directement en n'utilisant que l'écriture exponentielle.

[Léa312464651]

Effectivement, j'ai oublié un 1, et avec cela, j'obtiens le même résultat qu'en passant par les exponentielles, j'imagine que cela doit être juste, à moins que je me sois trompé à deux reprises, ce qui n'est pas impossible non plus ^^
Au final, je trouve F'(x)=1/(1+x²)
Et du coup en intégrant, on a immédiatement F(x)=arctan(x) +Constante, cela vous semble-t-il cohérent ?


Merci d'avance

[aviateur]

Oui c'est exact mais la constante=??? (faire x=0)

[Léa312464651]

Du coup, la constante est nulle

Merci beaucoup pour votre aide