Intégrale généralisé et intégrale de Lebesgue

[Als128]

Bonjour à tous,

je suis en train de plancher sur un exo et j'ai beaucoup de mal à comprendre l'énoncé. Je crois que j'ai pas très bien assimilé la différence entre Reimann et Lebesgue. Un peu d'aide serait plus que la bienvenue.

Voilà le problème:

Soit , A la tribu des boreliens et m la mesure de lebesgue. Soit f une fction numérique définie sur On suppose f continue (limite uniforme de fonctions en escalier). Montrer que f est lebesgue intégrable pour m et que les 2 intégrales sont égales.

Alors la j'ai marné un peu et j'ai pas trouvé. J'ai lu la solution j'ai rien compris. Moi je pensais que si f est continue sur [a,b] elle était intégrable (au sens de Reimann) et donc elle était intégrable sur au sens de Lebesgue. Du coup mon cours me parait tout de suite moins clair.... Quelqu'un peut m'expliquer comment ça se démontre cette question? Merci!

Mais j'ai encore plus de mal avec la deuxième question, qui utilise la première :

Soit f une fonction réelle définie et continue dans R+. On suppose que converge.
Montrer que
et que

Et la c'est encore pire, je nage complètement !
ça veut bien dire qu'il faut démontrer que |f| est intégrable au sens de lebesgue ?
Puis la solution est très nébuleuse (ou alors j'ai strictement rien compris à la théorie de lebesgue, même si je comprnds ce que je lis quand je suis sur Wiki. Alors qu'avec les bouquins...) Bref je veux bien un coup de main si certains peuvent faire du "lebesgue pour les nuls"

Merci à ceux qui m'ont lu
Merci à ceux qui voudront bien m'aider !

[mathsup]

Il existe des cas de figures où intégrale de Lebesgue et intégrale de Riemann ne coïncident pas. C'est le cas notamment de qui est Lebesgue intégrable mais pas Riemann intégrable et de qui est Riemann intégrable (intégrale généralisée qui se fait pas IPP) mais pas Lebesgue intégrable (car l'intégrale de Lebesgue demande de la convergence absolue).

Dans la première question on vous demande de redémontrer votre cours, à savoir que si vous avez une fonction continue sur un intervalle fermé borné (c'est à dire de la forme [a,b]), les deux intégrales sont identiques. C'est un peu long à écrire dans un forum, je ne m'y aventure pas...

Pour la seconde question c'est plus facile à écrire ici. D'abord observez que l'on ne travaille plus dans un intervalle fermé borné ( R+, n'est pas borné) donc le résultat de la question précédente n'est plus applicable ici. Il faut donc trouver une astuce pour se ramener à un intervalle fermé borné où on sait que les deux intégrales coïncident. L'idée est alors la suivante, si vous revenez à la définition de l'intégrale généralisée de Riemann, vous avez par définition



Puisque sur un intervalle fermé borné Lebesgue et Riemann coïcident (c'est là le point clé!), vous pouvez également écrire :



et par convergence monotone (j'espère que vous l'avez vu...), vous allez pouvoir rentrer la limite sous le signe intégrale, à savoir :



Vous avez donc établi que donc f est dans .

Maintenant il faut traiter l'égalité sans la valeur absolue. Pour se faire vous reprenez tous les calculs précédents en enlevant la valeur absolue, mais pour le passage à la limite vous utiliserez cette fois ci la convergence dominée (là aussi j'espère que vous l'avez vu...) en dominant par |f| qui est dans L^1 comme nous l'avons démontré précédemment.

Pas facile d'écrire ça sur un forum, mais j'espère avoir un peu éclairé votre lanterne !