Question rapide (famille libre)

[ilies77]

Bonjour, je souhaiterai savoir si ceci est exact :

Soit E un e-v de dimension n et S une famille € E :

Si dim S est libre et dim S = dim E , on obtient bien S engendre E et donc S est génératrice , et par conséquent une base non?

Plus simplement je souhaitais savoir si le fait d'être libre et de même dimension que E implique qu'elle est aussi génératrice.


Merci d'avance
Cordialement,

[Pseuda]

Bonsoir,

S est une famille de vecteurs de E, dim S ne veut rien dire. Tu veux parler de la dimension du ss-ev engendré par S ?

Dans ce cas, en effet, S engendre E, et comme elle est libre, elle est libre et génératrice de E donc c'est une base de E.

Ce qu'il faut savoir, c'est que si F est un ss-ev de E et dim F = dim E, alors F =E. Dans ton cas, la dimension du ss-ev engendré par S est celle de E, donc ce ss-ev est E, donc S engendre E.

[ilies77]

Euh pardon je me suis emporté et j'ai écris n'importe quoi.. voici ce que je voulais réellement dire :7


Soit E un e-v de dimension n et S une famille € E :

Si S est libre et contient n éléments (n étant égal à dim E) , on obtient bien S engendre E et donc S est génératrice , et par conséquent une base non?

[chan79]

salut
Bon à savoir:
Soit E un espace vectoriel de dimension finie.
Une famille F de E est une base si et seulement si:
card(F)=dim(E) et (F est libre ou génératrice)

[Pseuda]

Euh pardon je me suis emporté et j'ai écris n'importe quoi.. voici ce que je voulais réellement dire :7


Soit E un e-v de dimension n et S une famille € E :

Si S est libre et contient n éléments (n étant égal à dim E) , on obtient bien S engendre E et donc S est génératrice , et par conséquent une base non?

Bonjour,

C'est un théorème : toute famille libre de E (de dimension n) qui possède n éléments, est une base de E, donc c'est aussi une famille génératrice de E.

Car de manière générale, toute famille libre de E de p éléments (p<=n) est aussi une base du ss-ev qu'elle engendre (car c'est aussi une famille génératrice de ce ss-ev, c'est trivial), donc elle engendre un ss-ev de dim p. Ici S est une famille libre de E qui possède n éléments, donc elle engendre un ss-ev de dim n. Et il n'y a qu'un seul ss-ev de dim n, c'est E. Donc S engendre E, et c'est une base de E.

[Ben314]

Salut,
Pour résumer un peu tout, a mon avis, le mieux, c'est de savoir que :

Si on a une famille S de vecteurs d'un espace vectoriel E [ou bien d'un sous espace vectoriel F (*)]
Alors, sur les trois propositions suivantes :
(1) La famille S est libre.
(2) La famille S est génératrice de E [ou de F]
(3) Le nombre d'éléments de S est égal à la dimension de E [ou de F]
dès que deux des trois sont vraies alors la troisième l'est forcément aussi
et donc S est en fait une base de E [ou de F]

Remarque : Le fait que, si (1) et (2) sont vrais alors (3) l'est aussi provient en fait directement de la définition de la notion de dimension. Parc contre le fait que (1) et (3) => (2) et que (2) et (3) => (1) sont des théorèmes.

(*) Attention à bien vérifier dans ce cas là que les vecteurs de la famille sont effectivement des vecteurs du s.e.v. F.

[ilies77]

Salut,
Pour résumer un peu tout, a mon avis, le mieux, c'est de savoir que :

Si on a une famille S de vecteurs d'un espace vectoriel E [ou bien d'un sous espace vectoriel F (*)]
Alors, sur les trois propositions suivantes :
(1) La famille S est libre.
(2) La famille S est génératrice de E [ou de F]
(3) Le nombre d'éléments de S est égal à la dimension de E [ou de F]
dès que deux des trois sont vraies alors la troisième l'est forcément aussi
et donc S est en fait une base de E [ou de F]

Remarque : Le fait que, si (1) et (2) sont vrais alors (3) l'est aussi provient en fait directement de la définition de la notion de dimension. Parc contre le fait que (1) et (3) => (2) et que (2) et (3) => (1) sont des théorèmes.

(*) Attention à bien vérifier dans ce cas là que les vecteurs de la famille sont effectivement des vecteurs du s.e.v. F.

Merci à toi pour cette synthèse c'est effectivement ce que je pensais, désolé de la réponse tardive j'étais penché sur mon projet en informatique

Merci aussi à Pseuda et Chan (je sais pas comment on fait pour citer plusieurs réponses en un message donc j'ai cité que la dernière qui résumait vos propos à tous les deux)