Montrer qu'une famille est libre sans connaître ses vecteurs

[zygomatique]

effectivement il y a eu confusion :

soit L l'application :

alors L est linéaire (d'après 3a/) et son noyau est C(u) qui contient vec (I, u)

...

[luluv]

Bonjour bounjour
alors, dans l'ordre :
@Razes précisément, on a les 3 coefficients sont nuls, donc ... mais ça n'oblige pas la nullité de ... je ne crois pas...

@Pseuda, J'ai utilisé la méthode brute force car c'est celle que j'ai comprise la première, j'ai fait égalisé les produits il en découle que on travail sur la première égalité, on note les coefficient de A, de gauche à droite, de haut en bas , on égalise les produits on a 4 égalités dont on déduit les liens, notamment (j'ai mis truc = 1) et en procédant de la même manière, on a d'où
J'ai vérifié les produit GM et MG qui sont bien égaux, est-ce bien ça que tu me suggérai de faire ??
bref si j’échelonne, j'ai que le rang de G est 2... donc dim(C(u)) = 2 ? je le dis instinctivement, mais quelle est la justification si c'est vrai ???

Pour la deuxième méthode, j'ai bien compris la raisonnement, mais comment détermines-en-tu la matrice ? je pense que tu en déduis la dimension (2) car "g est entièrement déterminé par , 2 vecteurs ??

[quote=Pseuda]Par contre, je ne vois pas la solution de zygomatique qui utilise un polynôme annulateur de u.
[/quote]
tu ne vois pas ce qu'il a voulu dire ou bien tu ne vois pas le message ? Si c'est le message, il s'agit de la réponse 14

injectivité Ker(f) = {0}, par le théorème du rang, rg(u) = dim(E) =4. Effectivement je n'avais pas considéré ces exemples avant de sortir ma bêtise :'D du coup je le rajoute dans mon carnet de théorèmes inventés pour pas l'oublier

D'accord @Zygomatique, merci

Bref, c'est un exo résolu, merci à tous

[Pseuda]

@Pseuda, J'ai utilisé la méthode brute force car c'est celle que j'ai comprise la première, j'ai fait égalisé les produits il en découle que on travail sur la première égalité, on note les coefficient de A, de gauche à droite, de haut en bas , on égalise les produits on a 4 égalités dont on déduit les liens, notamment (j'ai mis truc = 1) et en procédant de la même manière, on a d'où
J'ai vérifié les produit GM et MG qui sont bien égaux, est-ce bien ça que tu me suggérai de faire ??
bref si j’échelonne, j'ai que le rang de G est 2... donc dim(C(u)) = 2 ? je le dis instinctivement, mais quelle est la justification si c'est vrai ???

Pour la deuxième méthode, j'ai bien compris la raisonnement, mais comment détermines-en-tu la matrice ? je pense que tu en déduis la dimension (2) car "g est entièrement déterminé par , 2 vecteurs ??

Bonsoir,

Pour la méthode force brute, on trouve bien que , etc .... On aboutit à la solution . idem pour les 3 autres. Cela fait donc pour une matrice de 8 paramètres. est donc un sous-ev de dimension 8.

Pour la 2ème méthode, est entièrement déterminé par les 2 vecteurs et . Toujours 8 paramètres. Donc est l'ensemble des endomorphismes tel que et . Cela confirme que c'est un sous-ev de de dimension 8.

Pour conclure, la forme générale de la matrice de est .

[luluv]

...
mais...
pourquoi g(a) et et g(b) sont des combinaisons linéaires de a, b, u(a), u(b) ??????
Et aussi, puisque la forme générale de la matrice est celle que tu as indiquée... la mienne est alors censée être fausse... à moins que comme la mienne est transposée de la tienne (aux coefficients près), alors la mienne est aussi de la bonne forme ?? Et je me suis rendu compte, aussi que le 2 que j'ai donné est juste le rang de g, qui n'est pas la dimension de la matrice, mais du coup comment aurai-je du déterminer la dimension de C(u) à partir de la matrice que j'ai donnée ?? pendant un instant, en te lisant, j'ai pensé que c'était en comptant le nombre de coefficient différents, donc 2 par bloc, mais je suis pas sûr...
Désolé d'être aussi chiant, mais je tiens vraiment à comprendre cette exercice ^^
Merci encore

[Pseuda]

Bonjour luluv,

pourquoi g(a) et et g(b) sont des combinaisons linéaires de a, b, u(a), u(b) ??????

C'est quoi la définition d'une base ? La famille est une base de E, donc c'est une famille génératrice de E (c'est du cours). Cela veut dire que tout vecteur de E, et en particulier les vecteurs et , peut s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base.

Et aussi, puisque la forme générale de la matrice est celle que tu as indiquée... la mienne est alors censée être fausse... à moins que comme la mienne est transposée de la tienne (aux coefficients près), alors la mienne est aussi de la bonne forme ?? Et je me suis rendu compte, aussi que le 2 que j'ai donné est juste le rang de g, qui n'est pas la dimension de la matrice, mais du coup comment aurai-je du déterminer la dimension de C(u) à partir de la matrice que j'ai donnée ?? pendant un instant, en te lisant, j'ai pensé que c'était en comptant le nombre de coefficient différents, donc 2 par bloc, mais je suis pas sûr...

La tienne n'a pas de coefficients, c'est là où est le problème. Un espace vectoriel ne peut pas comporter un seul élément (sauf si c'est l'espace nul), car dès qu'il contient , il contient . En d'autres termes, les coefficients sont nécessaires pour décrire un sous-ev à partir d'une base (ta matrice est celle d'un seul élément de , c'est un cas particulier de la mienne).

On détermine la dimension de , soit par la forme générale de la matrice G, en disant qu'elle est combinaison linéaire (avec les coefficients) d'une famille de matrices libre, soit par la forme générale de (à déterminer), en disant qu'elle est combinaison linéaire d'une famille d'applications linéaires libre. Le nombre de ces matrices ou le nombre de ces applications linéaires est la dimension de . Autrement dit, on trouve la dimension de en en trouvant une base. Généralement, le nombre de paramètres qui apparaissent dans l'expression de la forme générale des éléments du ss-ev, est la dimension du ss-ev. Il faut encore vérifier que c'est bien une base.

2 par bloc, 4 blocs, cela fait 8.

[luluv]

D'accord, j'ai bien compris, je te remercie