Exercice récurrence

[JulienNv]

Bonjour,
Voici l'énoncé :
"Montrer par récurrence que pour tout entier n≥1, 1^3+3^3+...+(2n-1)^3=2n^4-n^2

J'ai donc fait initialisation :
pour n=1

1^3+3^3+...+(2-1)^3=2^4-1^2
<=> 1+27+...+1=15

Je reconnais une suite arithmétique avec U(x)=x^3 mais je ne sais pas comment faire.
Dois-je faire la somme des termes pour trouver 15 ?

Merci de votre aide

[zygomatique]

salut

l'initialisation est simplement : ...

[JulienNv]

Je n'ai pas compris,
En faisant n=1 je trouve

Pourquoi ?

[zygomatique]

si n = 1 alors 2n - 1 = 1

donc il n'y a qu'un seul terme dans la somme ...

[Ben314]

Salut,
Cette expression là :

1^3+3^3+...+(2n-1)^3

comme toute celle avec des points de suspension, elle est là pour donner "le principe" de la formule, mais elle est évidement à interpréter en fonction de n !!!
Là, ton truc, écrit en français, c'est "La somme des cubes des entiers impairs de 1 à 2n-1 (qui est bien impair)"
Et, lorsque n=1, ça veut dire que c'est "La somme des cubes des entiers impairs de 1 à 1" c'est à dire que c'est et c'est tout.

Et une autre façon de le voir, c'est ce que te dit zygo : ta somme, c'est et elle contient donc termes vu que c'est la somme des où va de 1 à )
Donc quand n=1, ben la somme elle contient 1 terme et c'est tout.

[JulienNv]

Merci pour vos réponses

Donc si j'ai bien compris ensuite je fais l'hérédité :

J'ai donc compris que je dois démontrer que la somme des termes de 1 à est égale à

Si je fais la somme des termes avec la formule a (1 − q^n ) / (1 − q ) je n'arrive pas a obtenir le bon résultat.

En développant les deux expressions j'ai quand même vus que or
On obtient en faisant la différence je n'arrive pas a trouver les termes qui rajoutent cette valeur a la somme...

Merci de votre aide

[zygomatique]

Si je fais la somme des termes avec la formule a (1 − q^n ) / (1 − q ) je n'arrive pas a obtenir le bon résultat.

il est clair qu'en utilisant une formule valable pour les suites géométriques à une suite qui n'est pas géométrique ça risque de merder !!!

ensuite pour l'hérédité il faudrait peut-être utiliser l'hypothèse de récurrence ...

et pour cela comme ben314 l'a déjà dit peut-être qu'à la place des points de suspension (ou en complément) il serait bien d 'écrire un peu plus de termes pour voir réellement les choses ...

[JulienNv]

Soit :


La somme des cubes des entiers impairs de 1 à 2p+1

[zygomatique]

certes oui ... mais c'est la fin qui m'intéresse : les trois derniers termes (et sans simplification)

[JulienNv]

[zygomatique]

hypothèse de récurrence :



développer pour obtenir

...