Exercice sur les suites (récurrence, nombre d'or ...)

[nanas31]

Bonjour,

j'ai un devoir de maths à rendre, et j'ai un peu de mal, pourriez-vous m'aider..

Voila les symboles que j'utilise : V_n = V indice n / V^n = V puissance n

Les exercices sont liés :

Exercice 1 :

On a la suite u définie par U_0=1 et pour tout n de N, U_n+1 =sq(1+U_n)

1) Il faut déterminer a, solution de l'équation : sq(1+x)=x
Je trouve a= [1+sq(5)]/2 (nombre d'or)

2) On doit ensuite montrer par récurrence, que pour tout n de N, 1 < U_n < a
et montrer que la suite u est convergente et déterminer sa limite
Je trouve que sa limite est 1 ...

3) a) Montrer que pour tout n de N, a - U_n+1 < (a - U_n) / (1 + a) < (a - U_n) / 2

b) Montrer ensuite (par récurrence) que pour tout n de N, a - U_n < (1/2)^n
En déduire une valeur approchée, par défaut, du nombre d'Or à 10^-6 près


Exercice 2 :

On a la suite v définie par V_0 = 1 et V_n+1 = 1 + 1/V_n

1) Montrer que le reel a défini dans l'exercice 1 est une des solutions de l'équation 1+ 1/x = x

2) On définit les suites w et t par : pour tout n de N, W_n = V_2n et t_n = V_2n+1

a) Montrer que les suites w et t sont définies par récurrence par la fonction g(x) = (2x+1) / (x+1)

b) Etudier les variations de g sur l'intervalle [0;+inf[ et déterminer le signe de g(x)-x, sur cet intervalle.
Je trouve que g est croissante sur [0;+inf[ et que g(x)-x > 0 si x est sur [0; 1+sq(5)/2[ et g(x)-x < 0 si x est sur ]1+sq(5)/2 ; +inf[

c) Déduire de ce qui précède que :
- pour tout n de N, 1 < W_n < a et la suite w est convergente vers a
- pour tout n de N, t_n > a et la suite t est convergente vers a
- la suite v converge vers a


Voila, merci d'avance de votre aide !

[nox]

qu'as tu deja fait ? à quelle question es tu bloquée ? qu'est ce que tu ne comprends pas ?

[Imod]

Pour la question 2°) tu es sûr que la limite est 1 ?

Imod

[nanas31]

Je n'arrive pas a faire la question 3) de lexercice 1

Je n'arrive pas non plus à faira la 2)a) et c) de lexercice 2

Pour la limite dans lexercice 1, je pense que c'est 1 mais je me trompe peut-etre, qu'en penses-tu ?

[nanas31]

Pour la limite, je me suis effectivement trompée ...
J'ai maintenant résolu cette question, merci de ta remarque