Exercice sur la recurrence

[valentin0108]

Bonjour , je ne comprend pas cet exercice sur les suites.

On considere la suite [Un] definie par u0=0 et pour tout n Un+1=;)12+Un[la racine va jusqu'a Un]

1] Montrer par recurrence que pour tout n , Un<4

2] Montrer que , pour tout n, on a 4-Un+1 < ou egal= 1/4[4-Un] , en deduire que Un converge et calculer sa limite.

Je n'y arrive pas car la demonstration par recurrence est inhabituel et la deuxieme question decoule de la premiere.

[Billball]

Il suffit de suivre la démarche, calculer les 1ers termes... émettre une hypothése, prouver et conclure

[Imod]

Si que peux-tu dire de ?

Imod

[valentin0108]

Qu'il est inferieur a 4

[Imod]

Et pour la deuxième il suffit de calculer .

Imod

[xyz1975]

Bonjour,
On ne peut pas prouver que Un<4 par recurrence si on n'a pas montré d'abord que Un est à termes positifs.

[Imod]

Bonjour,
On ne peut pas prouver que Un<4 par recurrence si on n'a pas montré d'abord que Un est à termes positifs.

N'est-ce pas complètement évident ?

Imod

[xyz1975]

Y a pas d'évident en maths, la question est incomplète, à l'héridité comment on va composer avec la racine!!!?

[Imod]

Si tu veux à tout prix prouver quelque chose , prouve l'existence de mais étant une racine il est clair qu'elle est positive ou nulle .

Imod

[xyz1975]

Si on montre pas en premier lieu que les termes de la suite sont positifs (par recurrence, et non pas par observation car ceci n'existe pas en maths n'est ce pas Imod, le fait que U_(n+1) est une racine ne justifie pas la positivité des termes de la suite car cela dépend LARGEMENT de la valeur du premier terme si U0 était égal à -5 je suis désolé la suite n'est pas à termes positifs)
Je repète, si on montre pas (par recurrence) que Un est positif alors le raisonnement par recurrence pour justifier que Un<4 est complètement faux.
REMARQUE : Je parle pas d'existence ici, prouver que les termes sont positifs ne justifie pas l'existence de cette suite récurrente. L'existence se fera par deux étapes, la fonction génératrice et la stabilité par f de l'intervalle choisi.

[Imod]

Je ne comprends pas ton problème si tous les temes ne sont pas positifs mais ils sont tous inférieurs à 4 :doh:

Imod

[xyz1975]

Je ne comprends pas ton problème si tous les temes ne sont pas positifs mais ils sont tous inférieurs à 4 :doh:

Imod

1/ U_(n+1) est une racine ne justifie pas que la suite est positive.
2/ Faites un raisonnement par récurence pour Un inférieur à 4, vous êtes mieux placé que moi pour découvrir que la question est fausse, vous serez bloqué à l'héridité.

[magnolia86]

Sur ce coup, je suis plutôt d'accord avec xyz1975 : il est bon de vérifier que la suite existe réellement (ne pas oublier qu'on est au lycée ici...) Pour cela, on peut faire une (seule) récurrence pour prouvant simultanément , et tout le monde est content.

Je ne comprends pas ton problème si tous les temes ne sont pas positifs mais ils sont tous inférieurs à 4 :doh:

Imod

Et si , tous les termes...

[Imod]

Sur ce coup, je suis plutôt d'accord avec xyz1975 : il est bon de vérifier que la suite existe réellement (ne pas oublier qu'on est au lycée ici...) Pour cela, on peut faire une (seule) récurrence pour prouvant simultanément , et tout le monde est content.
Et si , tous les termes...

Je ne vais pas polémiquer plus longtemps ( il suffit de relire mes messages ) . Si le problème n'est pas de savoir si est positif mais de savoir s'il existe : ce est une pure vue de l'esprit . Ta double inégalité clos le débat mais pourquoi pas ?

Imod

[magnolia86]

mais pourquoi pas ?

et gagner l'indice n=0 et signaler la condition d'existence, oui pourquoi pas ! :id:

[Black Jack]

Comme tout a été dit (en sens divers) sur la partie 1, je propose ceci :

Si 0 <= U(n) < 4, on a:

0+12 <= U(n) + 12 < 4+12
12 <= U(n) + 12 < 16
V12 <= V(U(n) + 12) < V16
V12 <= U(n+1) < 4
et a fortiori :
0 <= U(n+1) < 4 (1)

Comme U(0) = 0, par (1), on déduit que U(n) existe et est < 4 pour tout n de N

Rien n'empèche de partir de "Si -12 <= U(n) < 4 ...", mais dans le cas présent ce n'est pas nécessaire.

:zen:

[xyz1975]

par (1), on déduit que U(n) existe et est < 4 pour tout n de N

La double inégalité ne justifie pas l'existence de la suite!!!

[Black Jack]

La double inégalité ne justifie pas l'existence de la suite!!!

Bien sûr que si.

D'ailleur elle est issue de 12 <= U(n) + 12 < 16 qui montre que la quantité qui est sous le radical dans l'expression de U(n+1) est strictement positive.

:zen:

[xyz1975]

Bien sûr que si.

D'ailleur elle est issue de 12 <= U(n) + 12 < 16 qui montre que la quantité qui est sous le radical dans l'expression de U(n+1) est strictement positive.

:zen:

est à termes positifs cela veut dire que les termes sont dans l'intervalle [0;+infini[, encore une fois cela ne justifie pas son existence, lisez le cours sur les suites récurrentes.
Je préfère arrêter ce type de discussions.....

[magnolia86]

est à termes positifs cela veut dire que les termes sont dans l'intervalle [0;+infini[, encore une fois cela ne justifie pas son existence, lisez le cours sur les suites récurrentes.

heu...
On a bien " (sous entendu évident : existe) implique (sous entendu évident : existe)."
La récurrence montre simultanément l'existence de tous les termes, et un intervalle auquel ils appartiennent.

Je préfère arrêter ce type de discussions.....

je comprends.