Polynômes interpolateurs de Lagrange

[Kyg]

Bonjour,

Je bloque sur un exercice sur les polynômes de Lagrange.

On a un entier supérieur ou égal à .
On note l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à et sa base canonique.
On considère réels vérifiant .

1) J'ai montré que l'application où est bijective.

2) On note la base canonique de et, pour tout , on désigne par le polynôme de tel que .

a) Je dois préciser pour tout , la valeur de et je n'y arrive pas.

b) J'ai ensuite montré que est une base de et que :


3) On note maintenant la matrice de passage de à
Et on suppose que .

a) Déterminer et ??
J'ai trouvé


Mais je ne suis pas sûr que ça mène à grand chose.

[jlb]

Salut, cela vaut quoi T(Li) d'après la définition de T et comme tu sais aussi que T(li) =ei tu devrais trouver facilement ta réponse ( ei=(0,....,0,1,0,...0) où le 1 est en ième position)

Pour la suite n=3!! L1, L2, L3 c'est quoi et cela a quelle tête? Avec tes infos ( 2 racines évidentes), tu as presque fini.

Bon courage.

[Kyg]

Ah oui c'était tout bête merci beaucoup !!

Cependant pour la question 3 je ne sais pas. sont des polynômes de degré inférieur ou égal à
Je n'arrive pas à relier les informations entre elles et en effet je ne vois pas trop quelle tête ont ces polynômes.

[jlb]

n-1=? quand n=3 allez un effort!! en plus tu sais par ex pour L1 que 1 et 2 sont racines donc L1(x)=a(x-1)(x-2) , à toi de trouver a!!

sinon, tu écris que L1(x)=ax²+bx+c et tu trouves a,b et c sachant que L1(0)=1, L1(1)=0 et L1(2) =0

[Kyg]

Ok merci j'ai trouvé :



Donc

J'ai ensuite montré que 1 est valeur propre de mais je dois déterminer
j'ai déjà

[jlb]

Bah, il te reste à trouver la forme des vecteurs propres de A-I en résolvant le système (A-I) (x,y,z) = (0)

Sinon un coefficient de A n'est pas bon. Tu as recopier 2/3 au lieu de 3/2? Et du coup, tu as (1;1;-1) comme vecteur propre évident. Vérifie la dimension également c'est 1!!

[Kyg]

Oui j'avais mal recopié sur l'ordi.
Ok j'ai compris et j'ai rectifié la dimension.

Et là j'ai encore un souci :; il faut en déduire les polynômes de qui vérifient

[jlb]

Relis la question 2)b). Ecris ta condition à partir de A et tu devrais pouvoir répondre. La question a élucider est : que fais la matrice A (et surtout A^-1)?

[Kyg]

Je ne vois pas... Que veut dire "condition à partir de A" ?

[jlb]

2b) P=P(0)L1 + P(1)L2 +P(2)L2

La condition s'écrit donc P(0)L1 +P(1)L1+P(2)L2 = P(0) + P(1)X +P(2)X² comme A est la matrice de passage de B à B' cela s'écrit P = AP et tu dois pouvoir conclure tout seul