[PSI]Polynomes de Lagrange

[Anonyme]

Bonjour,
je dois mq qu'il existe un unique poly de R3[X] tq
p(a)=alpha
p'(a)=alpha'
p''(a)=alpha''
et p(b)=beta

en décomposant un polynome de R3 sur (1,(X-a),(X-a)^2,(X-a)^3)
On obtient facilement les coefficients. d'ou le résultat demandé.
Ensuite on me demande quels sont les autres poly qui conviennent.(sur R[X])
je suppose.
Et là je suis un peu coincé, j'ai bien qq exemples de poly qui conviennent
mais de là à faire la réciproque et à tous les trouver...
merci de votre aide.

[Anonyme]

In article ,
"stef" wrote:

> en décomposant un polynome de R3 sur (1,(X-a),(X-a)^2,(X-a)^3)
> On obtient facilement les coefficients. d'ou le résultat demandé.
> Ensuite on me demande quels sont les autres poly qui conviennent.(sur R[X])
> je suppose.
> Et là je suis un peu coincé, j'ai bien qq exemples de poly qui conviennent
> mais de là à faire la réciproque et à tous les trouver...

Bonjour,
c'est le même principe que pour une équation différentielle :
tu as une solution particulière, et pour obtenir toutes les solutions,
il faut ajouter les solutions de l'équation sans second membre.
Ici, cela revient à dire que tout polynôme solution est de la forme
(polynôme que tu as trouvé) + (polynôme Q)
où Q est tel que
Q(a) = Q'(a) = Q''(a) = Q(b) = 0
(c'est facile à démontrer).
C'est-à-dire Q divisible par (X-a)^3(X-b).
Ainsi, tu connais toutes les solutions.

Camille

[Anonyme]

Le Tue, 23 Sep 2003 20:58:29 +0200,
stef grava à la saucisse et au marteau:

> Bonjour,
> je dois mq qu'il existe un unique poly de R3[X] tq
> p(a)=alpha
> p'(a)=alpha'
> p''(a)=alpha''
> et p(b)=beta
>
> en décomposant un polynome de R3 sur (1,(X-a),(X-a)^2,(X-a)^3)
> On obtient facilement les coefficients. d'ou le résultat demandé.
> Ensuite on me demande quels sont les autres poly qui conviennent.(sur R[X])
> je suppose.
> Et là je suis un peu coincé, j'ai bien qq exemples de poly qui conviennent
> mais de là à faire la réciproque et à tous les trouver...
> merci de votre aide.

Bah il faudrait que tu ajoutes au polynôme que tu as trouvé des
polynômes qui ne changent pas les valeurs aux points ci-dessus. A toi de
voir lesquels conviennent.

--
Genji
"Il n'y a pas d'amis, il n'y a que des moments d'amitié."
Jules Renard