Identité de Lagrange

[Vuze49]

Bonjour,
je prépare la lecon de capes n°25 "applications du produit scalaire et vectoriel..."

Au début de la leçon j'énonce l'identité de Lagrange :
ll ll²= ll ll²+ll ll²
Puis j'en déduit les expressions des sinus cosinus des angles non orientés, la distance d'un point à une droite et tout le reste....

Mais comment démontrer cette identité (sans se servir de l'expression du pdt scalaire et vectoriel en fonction du cos et sin de l'angle on orienté)?

Merci

[emdro]

Bonjour,

je pense qu'il suffit de considérer les coordonnées des vecteurs u, v et de l'expression de leurs produits scalaire et vectoriel dans une base orthonormée DIRECTE de l'espace.

Mais cela dépend de la définition du produit vectoriel (et du produit scalaire) que tu as choisie.

Réfléchis bien à l'ordre le plus simple pour présenter ces idées, et ne pas t'embrouiller. C'est le point clé de ces leçons.

[mathelot]

bonjour,

le produit vectoriel (dim 3) est issu d'un théorème de réprésentation
d'une forme linéaire:
la forme tri-linéaire alternée
est linéaire selon . Cette forme linéaire
se représente alors comme un certain produit scalaire

on pose alors ^
dépend alors de manière bilinéaire de u et v.

[emdro]

Ce que tu dis, Mathelot est incontestablement vrai.
Mais ce n'est certainement pas la seule méthode pour présenter les choses à des élèves de lycée (capeS) et même probablement la moins bonne.

Personnellement, je trouverais les choses assez mal parties si un étudiant commençait sa leçon ainsi...