Polynômes de Lagrange

[infernaleur]

Salut j'aurais besoin d'aide pour quelques questions de l'exercice suivant :

Soit
Soit avec

1) vérifier que la famille est une base de E
(famille de degrés étagés...)

2)Montrer que la base duale de la famille des est
(provient de )

3) en déduire qu'il existe des constantes uniques telles que :
( car les forment une base de l'espace dual et l'intégrale est une forme linéaire ...)

4)Donner une expression des

5) exprimer le terme de plus haut degré de

je bloque pour ses deux dernières questions
Merci !

[Ben314]

Salut,

0) L'énoncé est incomplet : il faut absolument préciser que les xi (i de 0 à n) sont des réels distincts.

1) Faux : les Li sont tous de degré n-1.
(si la notation te semble obscure, écrit bien proprement qui sont L0, L1 et L2 dans le cas où n=2, histoire de voir de quoi il retourne)

2) et 3) O.K.

4) A mon sens, il y a un "petit piège" dans l'énoncé : on ne te demande pas de "calculer explicitement" les lambda_j, mais juste d'en donner une expression...
Et sachant que la formule du 3) est vrai pour tout polynôme P, tu as pas une petite idée de quel(s) polynômes choisir pour avoir directement une expression de lambda_i ?

Concernant la 5), je vois pas trop où ils veulent en venir : il suffit de regarder le polynôme L_i pour voir que son terme de plus haut degré, c'est où

[infernaleur]

Salut,

1) Faux : les Li sont tous de degré n-1.

2) et 3) O.K.

4) A mon sens, il y a un "petit piège" dans l'énoncé : on ne te demande pas de "calculer explicitement" les lambda_j, mais juste d'en donner une expression...
Et sachant que la formule du 3) est vrai pour tout polynôme P, tu as pas une petite idée de quel(s) polynômes choisir pour avoir directement une expression de lambda_i ?

Concernant la 5), je vois pas trop où ils veulent en venir : il suffit de regarder le polynôme L_i pour voir que son terme de plus haut degré, c'est où

Ah oui mince on utilise le fait que pour montrer que c'est une famille libre et c'est bon.
On prend sa nous donne donc pour tout i c'est bien sa ?

(Et oui exact je n'ai pas fait attention aux hypothèses sur les xi)

[infernaleur]

Et je pense que pour la question 5) c'est parce qu'il y a une dernière question que je n'ai pas mise et on demande ceci :
Soit la forme linéaire sur E définie par (où d désigne la dérivée).
On doit donner les coordonnées de dans la base duale
C'est-à dire on cherche tels que
Donc sa va servir quand on va calculer pour déduire les car on aura besoin de savoir ce que vaut le terme de plus haut degré de L_i, c'est pour cela non ?

[Ben314]

on utilise le fait que pour montrer que c'est une famille libre et c'est bon.
On prend sa nous donne donc pour tout i c'est bien sa ?

Oui, c'est ça.

Soit la forme linéaire sur E définie par (où d désigne la dérivée).
On doit donner les coordonnées de dans la base duale
C'est-à dire on cherche tels que
Donc sa va servir quand on va calculer pour déduire les car on aura besoin de savoir ce que vaut le terme de plus haut degré de L_i, c'est pour cela non ?

Oui, effectivement, là tu va avir besoin des coeff dominants et c'est sans doute pour "t'aiguiller dans la bonne direction" que la question est là (sinon, elle fait un peu concon comme question...)

[infernaleur]

Ok merci encore