Polynomes de lagrange

[duchere]

Bonjour,
je suis en train de me tuer la tête sur les polynomes de lagrange !!

Je lis de partout que

Et moi je ne trouve pas ca, je trouve à peu près le contraire?
Quelqu'un aurait il la démo s'il vous plait ?
Merci.

[yos]

Cette égalité me semble évidente, dés lors que n=k+1

[duchere]

dès lors que n=k+1?
Tu peux expliquer s'il te plait.... ?

Merci

[duchere]

Bon, sinon peut-être décellerez-vous l'erreur dans ma démo fausse...

Je rappelle

Soit

sont donc les coordonnées de P dans la base canonique
Et celles de P dans la base de Lagrange

Je passe alors aux polynomes sur R, et vu qu'ils sont égaux sur R, ils sont en particulier égaux aux points

D'où pour tout i de [0,n]

Donc je trouve ce changement de base qui s'avère faux.
Où est l'erreur svp ?

Merci

[duchere]

Ca y'est, je viens de trouver comment on démontre la formule d'en haut.
C'est la même démo que mon message précédent sauf qu'on prend P=X^k=Somme sur i des b_i L_i

IL semblerait donc que ma démo d'au dessus soit aussi juste.

Cependant, lorsque j'essaie sur un exemple dé vérifier le changement de base, cela ne marche pas !!

Merci de m'aider.

[duchere]

Oui en effet, ma formule est juste.

En fait lors de ma vérification, j'avais pris n=1, et j'avais pris L_0 = 1 au lieu de (X-t1)/(t0-t1) !!!


Que de temps perdu pour une petite erreur.

merci

[yos]

Le polynôme prend la valeur en et son degré est , donc ce polynôme est (unicité du polynôme de degré prenant k+1 valeurs données). D'où ma précision n=k+1.
Ta démonstration, que je n'ai que survolée, ne dit rien d'incompatible avec ça.

[duchere]

Oui eh bien en fait c'est preque exactement la même démo que la mienne.

Car lorsque tu dis que le polynome prend la valeur en , tu sous-entends pour tout i de [0,n], ce qui te donne en effet l'unicité du polynome , or X^k marche, donc c'est lui.

Moi je dis presque pareil :

Soit le polynome que l'on cherche ( , ses coordonnées dans la base de lagrange)

On veut

Donc en particulier pour tout i de [0,n]

Moi je préfère faire comme ca parce que c'est pas vraiment à mon programme l'unicité du polynome de degré n, n+1 valeurs fixées

Et surtout que je crois que cela découle des polys de lagrange ce théorème, ce serait donc dommage de se mordre la queue


Merci beaucoup en tout cas !

@ bientot

Bonne nuit