Dimension, base

[Kyg]

Bonsoir,

J'aurais besoin d'aide pour répondre à la question suivante :
Soit la matrice
J'ai trouvé qu'elle admettait et pour valeurs propres dans .

Et maintenant je dois trouver la dimension et une base des sous-espaces vectoriels et

avec l'endomorphisme de canoniquement associé à et l'application identité de .

[Robot]

Oui, et où est ton problème ? Tu as à résoudre deux systèmes linéaires homogènes 2x2, dont tu sais a priori qu'ils admettent des solutions non triviales.

[Kyg]

En fait je ne comprends pas à quoi correspondent et et quels systèmes entrent en jeu pour trouver la dimension et la base..

[Robot]

Tu ne connais pas la définition du noyau ?
Tu n'as jamais calculé de base de sous-espaces propres ?
Tu sembles pourtant savoir ce qu'est une valeur propre.
Il faut commencer par regarder ton cours, ou n'importe quel cours d'algèbre linéaire traitant du b-a-ba de la réduction des endomorphisme (valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres et cie).

[Kyg]

Non je n'ai jamais calculé de base de sous-espaces propres et je ne sais pas ce que signifie réduire un endomorphisme. En fait cet exercice est une initiation aux valeurs propres je suppose, mais c'est la première fois que j'en entends parler et je ne suis pas très à l'aise avec cette notion au niveau de son application

[Robot]

Tu ne réponds pas sur la définition du noyau ?
Tu n'as pas de cours sous la main ?

[zygomatique]

salut

que signifie l'affirmation : u est un élément du noyau de l'endomorphisme f ?

[Kyg]

Tu ne réponds pas sur la définition du noyau ?
Tu n'as pas de cours sous la main ?

Eh bien le noyau de l'application linéaire de dans est l'ensemble
Donc
Mais de là pour trouver la dimension, on peut peut-être utiliser le théorème du rang ?

salut

que signifie l'affirmation : u est un élément du noyau de l'endomorphisme f ?

Cela signifie que ?

[Robot]

Bien. Tu peux maintenant calculer une base de (ce qui t'est demandé, et qui te donnera sa dimension).
Tu peux écrire la matrice de ?
Et résoudre le système linéaire homogène 2x2 qui traduit (je te parlais de ce système dès le premier message) ?

[aymanemaysae]

Bonjour,

vous y êtes presque.

se traduit sous forme matricielle comme suit:

càd qui donne le système d'équations suivant .

La résolution de ce système vous donnera le sev propre associé à ainsi que sa base (composée d'un seul vecteur).

Vous procéderez de la même façon pour et vous obtiendrez le sev associé à ainsi que sa base .

Vous obtiendrez ainsi la matrice de passage P qui donnera une matrice diagonale :