Exercice de probabilité

[Maxime654]

Bonjour, à toutes et à tous,

Voilà, je viens à vous pour que vous puissiez me corriger dans un exercice de probabilité.

Énonce : Lors d'une élection, on a observé les résultats suivants pour un groupe de 60 personnes.

Candidat A : 18 voix
Candidat B : 15 voix
Candidat C : 15 voix
Candidat D : 12 voix

On extrait au hasard et successivement 4 personnes du groupe, on considère les événements suivants,
X : La seule personne ayant voté pour A est la quatrième
Y : Sur les 4 personnes au moins une a voté pour A

Q1: Calculer, P(X) et P(Y) si l'on procède avec remises.

Q2 : Calculer, P(Y) si l'on procède sans remises.

Merci à vous.

[Maxime654]

Q1:
J'ai calculé la probabilité de tomber sur un vote uniquement de A parmi les 4 tirages.
P(A) = (42/60). (42/60). (42/60).(18/60) = 10,2 %
Maintenant, je prend en compte le fait que ce dernier doit apparaître en 4e position.
Si A = vote de A et Z = Vote différent de A ===> J'aurai (4 ! / 3!)=4 permutations possibles, or je n'en veut que 1 parmi les 4.
Finalement, P(X) = 10,2% * (1/4) = 2,57%

Est-ce que c'est juste ?

Merci,

[Pseuda]

Bonjour,

Non c'est faux. Dans ton calcul de P(A), tu tiens déjà compte du fait que les 3 premiers votes ne sont pas un vote de A, et que le dernier est un vote de A. Donc P(X) = ce que tu appelles P(A).

Pour Y, prendre l'événement contraire (il est bien souvent commode de le prendre) : aucun votant n'a voté pour A.

[Maxime654]

Bonjour,

tout d'abord, merci pour votre aide

Pour Q1 :
Donc, si j'ai bien compris, P(X) = 10,29 % ( vu que je ne prends déjà en compte qu'une permutation parmi les 4 possibles)

Et pour P(Y) = P(1 vote) + P(2 votes) + P(3 votes) + P (4 votes)
P(Y) = (4*18/60*42/60*42/60*42/60) + (6*18/60*18/60*42/60*42/60) + (4*18/60*18/60*18/60*42/60) + (1*18/60*18/60*18/60*18/60)

P(Y) = 75,9 % ===> probabilité d'avoir au moins un vote de A parmi les 4 votes tirés sur les 60.

Est-ce que dans ce cas-ci c'est bon ?

Merci.

[Pseuda]

Pour Q1 :

Ok pour P(X). Pour Y, ce n'est pas cela :

Soit tu prends l'événement contraire à "au moins une personne a voté A sur les 4" . Quel est-il ? Puis tu calcules sa probabilité, et la probabilité de l'événement contraire se calcule comment ?

Soit tu calcules la probabilité de l'événement : "1, 2, 3 ou 4 votes A", ce que tu as cherché à faire, sauf que par exemple, la probabilité d'"1 vote A" = 4*18/60*18/60*18/60*42/60) (et non pas : 4*18/60*42/60*42/60*42/60), etc....

[Maxime654]

Merci,

Q1:

Vous avez dit : la probabilité d'"1 vote A" = 4*18/60*18/60*18/60*42/60) (et non pas : 4*18/60*42/60*42/60*42/60)

Mais si je fais comme vous me conseillez de faire, je considère que les 3 premiers votes sont attribués à A et que seul le dernier et différent de A. Vu que sur 60 votes, 18 sont pour A et 42 autres sont pour des candidats différents de A.

Pouvez-vous m'éclairer ?

[Maxime654]

Q1:

Pour répondre à la question qui m'avait été posé plus haut, et qui était d'essayer de calculer la probabilité de tomber sur au moins un A en partant du raisonnement inverse.


P(Y) = 1 - P( jamais tomber sur un A )
= 1 - P ( pas de A et pas de A et pas de A et pas de A )
= 1 - P( pas de A ) . P( pas de A ) . P( pas de A ) . P( pas de A )
= 1 - (42/60)^4
= 75,9 %

Donc, en fait j'avais le bon calcul avec l'autre méthode.
Par contre, celle-ci est plus simple et rapide.

Merci.

[Pseuda]

Tu as tout à fait raison (j'ai été trop vite à te répondre). Et le bon résultat est bien de 75,9%.

[Maxime654]

Merci, pour votre précieuse aide