Espace Hilbert

[Bahana98]

Svp, Montrer que ,E={l'espace vectoriel des suites complexes (an)n telles que [Sum de n=0 à +00 (module²(an))]<+00}
muni du produit scalaire E²-->C, ((an)n,(bn)n)---> sum de n=0 à +00 [an.bar(bn)], est un espace de Hilbert complexe.
Rappel= un espace prehilbertien complet est appelé un espace de Hilbert.
J'éspère que toutes les notations sont claires, et merci d'avance pour votre indications.

[Robot]

On te dit dans l'énoncé que c'est un produit scalaire. On peut donc supposer qu'il n'y a pas besoin de le démontrer (en tout cas, ce n'est pas dur).
Reste la complétude. Qu'est-ce que ça veut dire ? Que faut-il montrer ?

[Bahana98]

Toute de suite de Cauchy est convergente.

[Bahana98]

Précisement:On dit que A est complet si toute suite de Cauchy à élements dans A converge dans A.

[Robot]

Eh bien tu te donnes une suite de Cauchy d'éléments de E, et tu montres qu'elle a une limite dans E. La démarche est claire, n'est-ce pas ?
Quelques étapes pour te guider
Soit une suite de Cauchy d'éléments de ; chaque est une suite .
Exprimer ce que veut dire le fait que est de Cauchy.
Trouver une suite de nombres complexes candidate à âtre la limite (que prendre pour ?). Montrer que appartient bien à , et établir la convergence de vers .

[Bahana98]

J"essaye mais j'ai pas arriver à trouver une bonne suite B qui convient.

[Robot]

Tu n'as vraiment aucune idée sur ce que pourrait être ?
Pourtant, ça s'impose quand on pense à la limite de la suite des suites quand tend vers l'infini !

[Bahana98]

J"essaye, mais sans avance.

[Robot]

Je suis vraiment étonné que tu n'arrives pas à te dire que si on veut que la limite des suites pour tendant vers l'infini soit égale à la suite , il paraît naturel d'essayer . Que pourrait-on faire d'autre ?
Une fois que le bon sens nous a amené à ça, on n'a pas fini.
Il reste:
- à s'assurer que est bien définie pour tout , autrement dit que la suite converge;
- à vérifier que la suite est bien un élément de ;
- à montrer que la suite converge bien vers dans .