Problème changement de base

[Pikachue]

Bonjour,

J'ai un exercice à faire sur les déterminants, et j'avais commencé un raisonnement mais je me suis rendue compte qu'il était faux, j'aimerais savoir où, svp!

J'ai une relation R sur l'ensemble des bases d'un R-ev définie par
BRB' ssi (le déterminant de B' dans la base B).
Je dois montrer que c'est une relation d'équivalence.

Pour la transitivité, j'ai pris B1, B2 et B3 telles que B1 R B2 et B2 R B3, je veux montrer B1 R B3.
J'ai pensé à faire un changement de base, donc en notant P la matrice de passage de B2 à B1 et P' son inverse, et en notant la matrice de B' dans B,

Et en passant au déterminant, comme det(AB)=detA * detB je trouve quelque chose de positif par hypothèse.
Mais c'est forcément faux, parce que si je fais la même chose mais en passant de la base B3 à la base B1 j'obtiens

Ce qui est absurde, à moins que B1=B3...

Donc j'aimerais savoir où ça ne va pas. Les matrices de changement de base n'existe peut-être pas toujours? Ou alors suivant certaines conditions?

Merci.

[MouLou]

Salut, a mon avis c'est juste que la matrice de B1 à B3 sera juste le produit des matrices de B1 à B2 puis de B2 à B3 (voir les matrices changement de base comme les matrices de l'identité qui va de la base B a la base B')

[Robot]

Pourquoi ?
(L'erreur vient de cette formule que tu inventes)
Rappel : Si est le vecteur colonne des coordonnées de dans l'ancienne base et ' le vecteur colonne des coordonnées dans la nouvelle base, la matrice de passage de l'ancienne base à la nouvelle base, alors (et ).

[Pikachue]

D'abord, merci pour vos réponses.

Je croyais qu'il existait une formule de changement de base pour les matrices carrées...
Dans ce cas, faut-il que j'utilise la formule de changement de base sur chaque colonne de ma matrice? Ca me semble un peu long et compliqué, non?
Car pour montrer la transitivité, je ne vois pas d'autre façon de faire que de changer de base, car sinon les hypothèses du début seraient complètement inutiles.

[MouLou]

cf mon post

[Robot]

Je croyais qu'il existait une formule de changement de base pour les matrices carrées...

Cette phrase ne veut rien dire. Il existe une formule de changement de base pour les matrices d'endomorphismes.