Nombre complexe

[fauchame]

bonjour à tous
mon professeur a donné à ma classe l exercice suivant /

soit un z nb complexe et z' définit par z'=(z-i)*(3iz-4) et on pose z=x+iy ( x et y deux réels
1)exprimer Re(z') et Im(z') en fonction de x et y

résultats: z'=3ix^2-6yx-4x+3x-3iy^2-4yi+3yi+4i
Re(z')=-6xy-x et Im(z')=3x^2-3y^2-y+4

2)dérterminer z tel que z' soit un réel pur :

résultats: Re(z')=o <=>-6xy-x=o <=> y=1/6 donc z=x+(1/6)i

Cependant le vrai problème survient avec la question 3) déterminer z appartenant aux complexes tel que z' soit réel
je suis arrivé à ce résultat Im(z')=o <=> 3x^2-3y^2-y+4=0 <=>3x^2-3(y+(1/6))=-49/16

et c est la que je ne comprends pas lorsque j isole les x ou les y ces derniers s annulent et donnent le résultat de -49/12
et c'est pourquoi je demande votre aide ( merci d avance pour toutes réponses ) :we:

[titine]

bonjour à tous
mon professeur a donné à ma classe l exercice suivant /

soit un z nb complexe et z' définit par z'=(z-i)*(3iz-4) et on pose z=x+iy ( x et y deux réels
1)exprimer Re(z') et Im(z') en fonction de x et y

résultats: z'=3ix^2-6yx-4x+3x-3iy^2-4yi+3yi+4i
Re(z')=-6xy-x et Im(z')=3x^2-3y^2-y+4
Exact.
2)dérterminer z tel que z' soit un réel pur :

résultats: Re(z')=o -6xy-x=o y=1/6 donc z=x+(1/6)i

Non.
z' est un réel pur si Im(z') = 0
Donc : 3x² - 3y² - y + 4 = 0
Et ça je ne vois pas trop comment vous pouvez le résoudre ...

3) je suppose que c'est z' est un imaginaire pur.
Il faut donc que Re(z') = 0
-6xy - x = 0
-x(6y + 1) = 0
x = 0 ou y = -1/6
Donc il faut que z soit un imaginaire pur ou que z est pour partie imaginaire -1/6.
z = iy ou z = x - (1/6) i

[fauchame]

je vous remercie pour votre réponse et pour votre correction et je vais essayer de contacter mon professeur pour la dernière question et encore merci

[zygomatique]

salut

Cependant le vrai problème survient avec la question 3) déterminer z appartenant aux complexes tel que z' soit réel
je suis arrivé à ce résultat Im(z')=o 3x^2-3y^2-y+4=0 3x^2-3(y+(1/6))=-49/16

ne connais-tu pas les équations de cercle ?

[mathelot]

il s'agit d'une hyperbole et non pas d'un cercle.

[zygomatique]

oui bien sur ....

[fauchame]

il s'agit d'une hyperbole et non pas d'un cercle.

bojour je ne vois pas comment montrer que c 'est une hyperbole :/ à part en disant que -49/12 est une fraction. est ce que vous pouvez m'aider ? De plus suite à la question 2 dans laquelle on dit que pour que z' soit un imaginaire pur il faut que Re(z')= 0 , on nous demande de représenter l'ensemble des points d’affixes z correspondants dans le plan complexe. Or je n 'arrive pas à le faire et je vous serais reconnaissant de m'aider

[zygomatique]

avec le changement de variable

X = x + y + 1/6
Y = x - y - 1/6

qui correspond à une transformation du plan

considère les droites d et d' d'équation x + y + 1/6 = 0 et x - y - 1/6 = 0

leur point d'intersection est le centre de symétrie de ton hyperbole ...

[fauchame]

leur point d'intersection est le centre de symétrie de ton hyperbole ...[/quote]


je m'excuse mais je ne comprends pas, est ce que les coordonnées du point de croisement des deux droite permet de me donner x et y de z ? merci d 'avance