Probabilité, tirage

[MadMax]

Bonjour,

Je me casse la tête sur un problème de probabilité qui semble idiot.

Soit E un ensemble ordonné de N éléments distincts, par exemples E = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

Soit E' une permutation aléatoire de l'ensemble E
Par exemple, E' = [6, 1, 4, 2, 7, 8, 3, 5]

Quel est la probabilité pour que:

P(X=0) : ZERO élément de E' arrive à la même position que dans E (par exemple, E' = [8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]) ?
P(X=1) : UN seul élément de E' arrive à la même position que dans E (par exemple, E' = [1, 8, 2, 3, 4, 5, 6, 7], ou E' =[8, 1, 2, 3, 4, 6, 5, 7]) ?
P(X=k) : k éléments de E' arrive à la même position que dans E ?

J'ai fait des calculs informatique brutaux en faisant plein de tirages et je trouve:

P(X=0) = 3.67278000e-01
P(X=1) = 3.68165000e-01
P(X=2) = 1.84261000e-01
P(X=3) = 6.09870000e-02
P(X=4) = 1.58320000e-02
P(X=5) = 2.78800000e-03
P(X=6) = 6.64000000e-04
P(X=7) = 2.50000000e-05
P(X=8) = 0.00000000e+00

Quelqu'un pourrez m'aider à trouver une formule ? Je sèche.

[arnaud32]

combien y a t'il de permutations?
combien de permutation laissant k points inchanges?

[MadMax]

combien y a t'il de permutations?
combien de permutation laissant k points inchanges?

Salut Arnaud32, merci pour ta réponse.

Le nombre de permutations, bien sûr N!
Combien de permutations laissant k points inchangés, j'aurais dit (N-k)! mais ca ne marche pas avec les résultats des calculs

[Ben314]

Salut,
C'est une question extrêmement classique de dénombrement. Tu en trouver la réponse ainsi que de multiples preuves assez différentes les unes des autres en cherchant "dérangements" sur le net, voir même sur ce Forum (on en a parlé plusieurs fois).
Sur le Net, tu as ça par exemple :
https://fr.wikiversity.org/wiki/Formule_du_crible/D%C3%A9nombrement_des_d%C3%A9rangements

[MadMax]

Salut,
C'est une question extrêmement classique de dénombrement. Tu en trouver la réponse ainsi que de multiples preuves assez différentes les unes des autres en cherchant "dérangements" sur le net, voir même sur ce Forum (on en a parlé plusieurs fois).
Sur le Net, tu as ça par exemple :
https://fr.wikiversity.org/wiki/Formule_du_crible/D%C3%A9nombrement_des_d%C3%A9rangements

Merci Ben314, c'est exactement ce que je cherchais !