Changement de variable

[Matheco]

Bonsoir,

Soit (X, Y) variable aléatoire à valeurs dans R^2 de loi de probabilité P (x, y)

On veut la densité de X/Y
Pour tout f mesurable on calcule E[f(X/Y)] = Intégrale [f(x/y). P(x, y)] dx dy
on fait un changement de variable
on choisit u = x/y , v = ?
mais comment choisit-on v ?

De même
On veut la densité de X+Y
Pour tout f mesurable on calcule E[f(X+y)] = Intégrale [f(x+y). P(x, y)] dx dy
on fait un changement de variable
on choisit u = x+y, v = ?
mais comment choisit-ons v ?

[arnaud32]

prends ce qui t'arrange du moment que tu gardes un changement de variable valable que vaut ta jacobienne?

[Matheco]

Oui j'ai enfin compris merci :)
Si on choisit u, v tel que
x = f1 (u, v), si y = f2 (u, v)


Jacobienne =
dérivée de f1 par rapport à u dérivée de f2 par rapport à u
dérivée de f1 par rapport à v dérivée de f2 par rapport à v

[arnaud32]

Oui j'ai enfin compris merci
Si on choisit u, v tel que
x = f1 (u, v), si y = f2 (u, v)


Jacobienne =
dérivé de f1 par rapport à u dérivé de f2 par rapport à u
dérivé de f1 par rapport à v dérivé de f2 par rapport à v

prends x=uv et y=v par exemple

[Matheco]

Oui c'est une possibilité j'ai compris que l'on choisissait v librement de telle sorte de faciliter le calcul de l'intégrale. Merci beaucoup

Une autre petite question
quand on a intégrale de x = a à x = b de f(x) dx
et que l'on fait le changement de variable x = f1(u, v) y = f2(u, v)
est ce que les bornes de la nouvelle intégrale sont
u = inverse de f1 (x, y) = inverse de f1 ( a,b)
v = inverse de f2 (x, y) = inverse de f2 ( a,b)

ou pas du tout ?

[arnaud32]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Int%C3%A9gration_par_changement_de_variable