Coefficients barycentriques

[loonel]

Bonjour à tous

Je ne parviens pas à trouver une manière pour calculer la valeur des coefficients associés à chaque sommet d'un polygone en fonction d'un point situé à l'intérieur. Quelque soit leurs valeurs, après je saurai les modifier pour rendre leur somme égale à un, et le tour sera joué.

Pouvez-vous me proposer une piste?

Merci d'avance.

[mathelot]

Bonjour à tous

Je ne parviens pas à trouver une manière pour calculer la valeur des coefficients associés à chaque sommet d'un polygone en fonction d'un point situé à l'intérieur. Quelque soit leurs valeurs, après je saurai les modifier pour rendre leur somme égale à un, et le tour sera joué.

Pouvez-vous me proposer une piste?

Merci d'avance.

Soit G l'équibarycentre des sommets



soit M à l'intérieur du polygone





soit A le point intérieur (cf énoncé)



à vérifier....

[chan79]

Salut
Il y a un résultat connu concernant le triangle.
Soit un triangle ABC et un point M à l'intérieur.
a=aire (MBC)/aire(ABC)
b=aire (MCA)/aire(ABC)
c=aire (MAB)/aire(ABC)
alors M est le barycentre de {(A,a),(B,b),(C,c)}

[loonel]

Soit G l'équibarycentre des sommets



soit M à l'intérieur du polygone





soit A le point intérieur (cf énoncé)



à vérifier....

Oui, hier, un prof de math m'a dit que j'avais besoin d'un point de référence, l'origine par exemple.
Mais là, il y a trois points: G, M et A.
Et puis je ne vois pas un seul coefficient.
Je vais chercher encore...

[mathelot]

Oui, hier, un prof de math m'a dit que j'avais besoin d'un point de référence, l'origine par exemple.
Mais là, il y a trois points: G, M et A.
Et puis je ne vois pas un seul coefficient.
Je vais chercher encore...

as tu des renseignements sur le polygone ? régulier, convexe, étoilé ?

[loonel]

Salut
Il y a un résultat connu concernant le triangle.
Soit un triangle ABC et un point M à l'intérieur.
a=aire (MBC)/aire(ABC)
b=aire (MCA)/aire(ABC)
c=aire (MAB)/aire(ABC)
alors M est le barycentre de {(A,a),(B,b),(C,c)}

Merci, ça c'est parfait. Je vais essayer de prendre cette idée pour l'étendre à n sommets.

En fait, précisement, je sais déjà le faire pour le triangle et le parallelépidède, mais en utilisant un calcul d'intersection de droites, ce qui charge trop ma cpu, puisque j'utilise ce calcul dans un programme graphique sur tous les pixels d'une image.

Je vais essayer le calcul des aires pour voir s'il est plus économique en terme de temps. Après j'essaierais de traiter mes quadripôles en deux triangles.

D'ailleur je me demande si une solution générale pour n sommets n'est pas justement le fruit d'une découpe en surfaces élémentaires du type triangles.

Merci beaucoup encore, j'ai du pain sur la planche.

[loonel]

Ce sont des polygones obligatoirement convexes.

[mathelot]

Ce sont des polygones obligatoirement convexes.

"étoilé" semble suffisant

Le domaine du polygone P est étoilé en A si

[mathelot]

courbes de Bézier
http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C3%B4me_de_Bernstein

si on trouve une courbe qui passe par le point A intérieur, ça résoud le problème

[loonel]

Oui, je vois,

Mais je ne cherche pas de coefficients binomios mais barycentriques.

Ce ne sont pas les même.

[chan79]

A noter qu'un point situé à l'intérieur d'un quadrilatère peut être considéré d'une infinité de façons comme le barycentre des sommets.
Ci-dessous:
G(9;1)
G=barycentre {(A,5),(B,1),(C,3),(D,3)}
et aussi
G=barycentre {(A,5),(B,2),(C,3),(D,4)}

[loonel]

Oui, c'est exact.

Dans mes calculs, j'arrange les coefficients pour que leur somme soit égale à 1. Dans ce cas, la solution est unique.

J'ai inséré le calcul via les aires dans mon code, cela fonctionne très bien, seulement je n'ai pas d'application assez lourde pour sentir la différence de vitesse d'exécution. J'ai la sensation d'avoir beaucoup avancé, je vous en remercie.

J'ai essayé un calcul d'aire pour quatre points, mes quads, et là c'est pas bon. Je vais chercher encore, car dans ce cas, mon application générale les utilise à chaque pixel.

[chan79]

Oui, c'est exact.

Dans mes calculs, j'arrange les coefficients pour que leur somme soit égale à 1. Dans ce cas, la solution est unique.


J'ai essayé un calcul d'aire pour quatre points, mes quads, et là c'est pas bon. Je vais chercher encore, car dans ce cas, mon application générale les utilise à chaque pixel.

Toujours avec l'exemple ci-dessus (somme des coef égale à 1)
G(9;1)
G=barycentre {(A,5/12),(B,1/12),(C,3/12),(D,3/12)}
et aussi
G=barycentre {(A,5/14),(B,2/14),(C,3/14),(D,4/14)}

[mathelot]

Oui, c'est exact.

Dans mes calculs, j'arrange les coefficients pour que leur somme soit égale à 1. Dans ce cas, la solution est unique.

J'ai inséré le calcul via les aires dans mon code,

tu peux expliquer à quel(s) point(s) tu attribues l'aire d'un triangle ?

[loonel]

tu peux expliquer à quel(s) point(s) tu attribues l'aire d'un triangle ?

Oui, J'ai fait exactement ce que Chan79 à dit:

J'ai des triangles dont je calcule les surfaces par rapport à un point à l'intérieur avec le périmètre p et les trois côtés a, b, c, à l'aide de sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) pour avoir les coefficients.

à l'intérieur de mon code, il y a des collections de longs polygones, plusieurs fois interpolés et extrapolés de manière stochastique symétriquement et disymétriquement.

Le résultat est des collections de parallelépidèdes avec parfois au bout des triangles, qui génèrent des surfaces graphiques comme cela. Les triangles sont à l'intérieur, il est difficille de savoir où extactement.

[img]e:\A011_1a31.jpg[/img]


Ici, les triangles sont de part et d'autre des sortes de bandes.

http://lionelguitton1.free.fr/digigraphies/093/Les%20couleurs.htm

Je n'ai pas réussi à insérer l'image, j'espère que le lien va fonctionner.





Ai-je répondu à votre question?

[loonel]

Bonjour

Hier j'ai fait une erreur: A chaque fois que j'ai utilisé le mot parallélépipède, j'aurais du dire quadrilatère. Veuillez m'excuser.