Fonction

[laulau81]

Bonsoir à tous mon fils mon montre un sujet en me disant qu'il faut partir du résultat pour remonter à l'énoncer car sinon c'est trop compliqué. Effectivement je n'y arrive pas ( derniere fois que j'ai vu ca c'était il y a 15 ans et j'ai tout mangé entre temps !!!)
Donc voici l'enoncé:
Soit f la fonction définie sur ]-infini;1[ par f(x)=(x^3-5x^2+7x-2) / (x-1)^2

1. Montrer qu'il existe deux réels a et b que l'on précisera tels que, pour tout réel x de ]-infini;1[
on ait , f(x)=ax+b+c/(x-1)^2

2. En déduire les primitives de f sur ]-infini;1[

effectivement si je part du résultat je trouve a=1 b=-3 c=-1

Mais comment fait on pour partir du début ?

Merci d'avance

[capitaine nuggets]

Salut !

Il faut faire la division euclidienne du numérateur par rapport au dénominateur, c'est-à-dire, trouver deux polynômes Q et R tels que

[CENTER] [/CENTER]

avec degré de < degré de .

[Monsieur23]

Aloha,

Il faut effectivement partir du résultat … au brouillon.
Pour rédiger proprement, tu pars de la définition de f dans l'énoncé, et tu dis "posons a=1, b=-3, c=-1, et g(x) = ax+b+c/(x-1)^2" (je n'ai pas vérifié les calculs de a, b et c, je te fais confiance)

Tu fais quelques calculs, et pouf, tu trouves g(x) = f(x) pour tout x (normal, tu as choisi a, b et c pour ça).
Donc f = g. Donc f peut bien s'écrire sous la forme ax+b+c/(x-1)^2

[capitaine nuggets]

Salut !

Il faut faire la division euclidienne du numérateur par rapport au dénominateur, c'est-à-dire, trouver deux polynômes Q et R tels que

[CENTER] [/CENTER]

avec degré de < degré de .

Comme, il faut que donc que . Donc on commence par dire que :

[CENTER][/CENTER]

Ensuite, toujours en faisant la division euclidienne, on a donc finalement :

[CENTER][/CENTER]

Par suite, en divisant par , il vient que :

[CENTER][/CENTER]

:+++:

Edit : Finalement a=1, b= -3 et c=1

[fatal_error]

hello,

fractions rationnelles

si tu connais pas en gros tu peux faire comme ca:
parant de f(x)=(x^3-5x^2+7x-2) / (x-1)^2

si tu imagines que à la place t'as
f(x)= [(x-1)^2(ax+b) - 3x-5] / (x-1)^2
ton réflexe c'est d'écrire
f(x)=(x-1)^2(ax+b)/(x-1)^2 + (- 3x-5)/(x-1)^2
f(x)=ax+b + (- 3x-5)/(x-1)^2

donc ce que tu veux faire c'est trouver a,b,c,d
x^3-5x^2+7x-2 = (x-1)^2*(ax+b) - (cx+d)

donc tu développes et t'identifies...
le terme en x^3 c'est 1, donc a == 1
le terme en x^2 c'est -5 et c'est donné par
-2a+b donc b == -3
le terme en x c'est 7, et c'est donné par
-2b-c+a donc c == 0
puis pour d c'est -2, donné par
b-d idem d == -1

[laulau81]

[quote="capitaine nuggets"]Comme, il faut que donc que .

Alors là ca me dépasse LOL

merci car ca me paraissait bizarre qu'on ne puisse pas partir du départ pour aller vers l'arrivée !!

SUPER je vais lui montrer mais je ne pense pas qu'il voit ca en cours un jour !! BTS électricité

[laulau81]

Ah oui me suis trompé en recopiant c'était C=1

[capitaine nuggets]

Comme , il faut que donc que .

Alors là ca me dépasse LOL

merci car ca me paraissait bizarre qu'on ne puisse pas partir du départ pour aller vers l'arrivée !!

SUPER je vais lui montrer mais je ne pense pas qu'il voit ca en cours un jour !! BTS électricité

Oh, c'est possible, on ne sait jamais : on voit pas mal de trucs en maths pour la mécanique, électricité, electromagnétisme, thermodynamique, etc...

C'est pas très compliqué :
Si alors car .

Ensuite, il faut se souvenir que pour deux polynômes , (le degré d'une somme de deux polynômes est égal au plus grand degré des deux polynômes et ).

dans notre cas, et .
Puisqu'il faut que , on en déduit que si .

Oui mais (rappel : pour deux polynômes et , :+++: ) et , donc :+++:

Remarque : Les diverses propriétés que j'ai pu utilisé ici ne sont valides que parce qu'on travail avec des polynômes à coefficients réels, mais je vais pas en dire plus (inutile de citer toute la théorie derrière un exercice comme celui là :++: )

[laulau81]

En tout cas merci beaucoup , la méthode de fatal error me parle plus mais je ne vois pas comment on pond la formule donc pas mieux.
Merci à tous en tout cas

[capitaine nuggets]

Sinon tu peux aussi aller regarder du côté de ce qu'on appelle la décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle.

Bonne soirée

:+++: