Petit exo de colle

par **maestro_** » 12 Jan 2015, 17:39

Bonjour Soit P(X)=X^3+X-1 ave cP ;) C[ X] . On note x(k) ses trois racines complexes.
1) Vérifier (sans chercher à les calculer) que les 3 racines sont distinctes.
2) Effectuer la division euclidienne de X^5 par P .
j'aimerais surtout savoir la réponse ou un indice sur la première question que je ne cerne pas .. faut -il que je prouve que le discriminant est inférieur à 0? merci...

par **jlb** » 12 Jan 2015, 17:44

Salut, tu dérives et tu vérifies s'il y a des racines multiples

par **maestro_** » 12 Jan 2015, 17:46

jlb a écrit:Salut, tu dérives et tu vérifies s'il y a des racines multiples

dnc en gros je dérive P et je cherche les solutions de P'? et je les reteste dans P pour voir si elles sont distinctes?

par **jlb** » 12 Jan 2015, 17:47

maestro_ a écrit:dnc en gros je dérive P et je cherche les solutions de P'? et je les reteste dans P pour voir si elles sont distinctes?

oui, je pense que cela doit convenir, c'est rapide vue la tete de P'

par **maestro_** » 12 Jan 2015, 18:01

jlb a écrit:oui, je pense que cela doit convenir, c'est rapide vue la tete de P'

la dérivée :

discriminant :-12
DONC : solutions i

et - i

par **paquito** » 12 Jan 2015, 18:02

a pour racines

et

qui n'est pas nul donc

a

racines distinctes.

par **maestro_** » 12 Jan 2015, 18:04

paquito a écrit: a pour racines et qui n'est pas nul donc a racines distinctes.

merci bien

par **maestro_** » 12 Jan 2015, 18:10

maestro_ a écrit:merci bien

et c'est quoi le rapport avec la question 2 si on ne calcule pas ses racines moi je trouve

par **capitaine nuggets** » 12 Jan 2015, 18:13

Salut !

maestro_ a écrit:et c'est quoi le rapport avec la question 2 si on ne calcule pas ses racines moi je trouve

Tu t'es trompé, il faut faire la division euclidienne de

par

et non pas l'inverse ; puis

:+++:

par **maestro_** » 12 Jan 2015, 18:16

AH oui bien vu merci les gars ;)

par **chan79** » 12 Jan 2015, 18:25

salut
une autre approche
On voit facilement qu'il y a une racine réelle a et deux racines non réelles
Supposons que les deux racines non réelles soient égales (à b)
(x-b)²(x-a)=x³+x-1
(x²-2bx+b²)(x-a)=x³+x-1
En identifiant les coefficients de x², on a -a-2b=0 impossible car b serait un réel

correction effectuée

par **maestro_** » 12 Jan 2015, 18:28

voila ce que je trouve ?

par **maestro_** » 12 Jan 2015, 18:56

maestro_ a écrit:
voila ce que je trouve ?

j'ai terminé l'éxo là???

par **zygomatique** » 12 Jan 2015, 20:02

chan79 a écrit:salut
une autre approche
On voit facilement qu'il y a une racine réelle a et deux racines non réelles
Supposons que les deux racines égales non réelles soient égales (à b)
(x-b)²(x-a)=x³+x-1
(x²-2bx+b²)(x-a)=x³+x-1
En identifiant les coefficients de x², on a -a-2b=1 impossible car b serait un réel

salut

j'allais proposer cela quand j'ai vu ton post...

on n'est même pas obligé de savoir qu'une racine est réelle ....

si les trois racines ne sont pas distinctes alors au moins deux sont confondues donc P(x) = (x - a)(x - b)² = x^3 + x - 1

ensuite c'est plutôt :: -a - 2b = 0 (car il n'y a pas de x² ....)

autre argument : le polynome est à coeficient réels et le produit de racines est - 1 donc a et b sont conjuguées ....

sinon on peut poser la division euclidienne ....

:lol3:

par **chan79** » 12 Jan 2015, 20:27

zygomatique a écrit:
ensuite c'est plutôt :: -a - 2b = 0 (car il n'y a pas de x² ....)

Bien-sûr; étourderie de ma part; merci pour la correction

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