Probleme de Probabilité

[CuteDrewn]

Bonjour, je suis en terminale S et j'ai besoin d'aide pour un DM sur les probabilités je vous rédige l'énoncé:

Une émission de télévision a relayé une étude montrant que certaines marques vendent du thé contenant une dose de pesticides dépassant les doses maximales autorisées.

Un commerçant sait que cette information va avoir un impact sur les ventes des marques incriminées. Ce commerçant achète 80 % de ses boîtes chez un fournisseur A et 20 % chez un fournisseur B.

10 % des boîtes provenant du fournisseur A et 20 % de celles provenant du fournisseur B contiennent une dose de pesticides dépassant les doses maximales autorisées.
Lors du prélèvement au hasard d’une boîte du stock du grossiste, on considère les événements suivants :

A : « la boîte provient du fournisseur A » ;
B : « la boîte provient du fournisseur B » ;
S : « la boîte présente des traces de pesticides ».

1. Traduire l’énoncé sous forme d’un arbre pondéré.
2. Que représente l’événement B inter Sbarre ?
3. Un ami du commerçant considéré lui explique que pour 88% des boîtes de thé qu’il vend, la
dose de pesticides ne dépasse pas les doses maximales autorisées. Justifier ce résultat.

4. Le magasin étant réputé et le stock important, les clients achètent souvent les boîtes de thé par lots. Lorsqu’on prend 10 boîtes de thé au hasard chez ce commerçant, on peut assimiler le prélèvement à un tirage aléatoire sans remise compte tenu du stock important.
Quelle est la probabilité que, sur un lot de 10 boites prélevées au hasard, au moins huit ne contiennent pas une dose de pesticides dépassant les doses maximales autorisées ?

5. À des fins publicitaires, le commerçant affiche sur ses plaquettes « 97% de notre thé est garanti sans pesticides ». Un inspecteur de la brigade de répression des fraudes souhaite étudier la validité de l'affirmation. À cette fin, il prélève 200 boîtes au hasard dans le stock du commerçant et en trouve 23 dont la dose de pesticides dépasse les doses maximales autorisées.
Au vu de ces résultats, quelle peut être la réaction de l'inspecteur de la brigade de répression ?


Voila, pour les trois premières questions je n'ai pas eut de problème, ce sont les 2 dernières qui me gène un peu... Pour la question 5 j'ai tout de même commencé par traduire les 23 boites sur 200 qu'il à prélevé en pourcentage ce qui me donne un résultat qui m'amène a dire que 88,5% des boites de thé est sans pesticide donc le commerçant a menti sur ses plaquettes mais je ne sais pas vraiment si c'est juste cela qu'il fallait faire.
Merci pour vos prochaines réponses.

[chombier]

Les questions 4 et 5 sont des piqures de rappels sur le programme de 1ère S.

Bernoulli, la loi binomiale, ça te rappelle quelque chose ? :)

[CuteDrewn]

Les questions 4 et 5 sont des piqures de rappels sur le programme de 1ère S.

Bernoulli, la loi binomiale, ça te rappelle quelque chose ?

Bonjour, merci pour le gros indice mais je comprend pas vraiment pourquoi on utilise ici la loi binomiale...mais j'ai essayé et rédigé ça me donne pour la question 4:
C'est une épreuve de Bernoulli. On considère une expérience aléatoire à deux issues. L'une qu'on appelle « Succès » avec une probabilité p(Sbarre)= 0.88 et son événement contraire qu'on appelle
« Échec » avec une probabilité p(S)=1– p= 0.12
On recommence n=10 fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p=0.12 de façon indépendante et dans les mêmes conditions, on est en situation d'équiprobabilité.
On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès sur les n=10 épreuves.
X prend les valeurs 0;1 ;...; 8 X suit une loi binomiale B(10 , 0.88) de paramètres n et p.
Voila ! Et je trouve un résultat égale a 0.23

[chombier]

Bonjour, merci pour le gros indice mais je comprend pas vraiment pourquoi on utilise ici la loi binomiale...mais j'ai essayé et rédigé ça me donne pour la question 4:
C'est une épreuve de Bernoulli. On considère une expérience aléatoire à deux issues. L'une qu'on appelle « Succès » avec une probabilité p(Sbarre)= 0.88 et son événement contraire qu'on appelle
« Échec » avec une probabilité p(S)=1– p= 0.12
On recommence n=10 fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p=0.12 de façon indépendante et dans les mêmes conditions, on est en situation d'équiprobabilité.
On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès sur les n=10 épreuves.
X prend les valeurs 0;1 ;...; 8 X suit une loi binomiale B(10 , 0.88) de paramètres n et p.
Voila ! Et je trouve un résultat égale a 0.23

C'est pourtant pas mal. Pas parfait (on ne dit pas qu'on est en situation d'equiprobabilité par exemple, mais que les expériences sont identiques). X prend les valeurs 0 ; 1 ; ... ; 10 (même si tu calcules p(X>=8)).

D'ailleurs 0.23 n'est pas le bon résultat. Comment as-tu calculé p(X>=8) ?

Ah oui, je crois que tu as calculé p(X=8).

[CuteDrewn]

C'est pourtant pas mal. Pas parfait (on ne dit pas qu'on est en situation d'equiprobabilité par exemple, mais que les expériences sont identiques). X prend les valeurs 0 ; 1 ; ... ; 10 (même si tu calcules p(X<=8)).

D'ailleurs 0.23 n'est pas le bon résultat. Comment as-tu calculé p(X<=8) ?

Ah oui, je crois que tu as calculé p(X=8).

Oui c'est ça j'ai pris X=8 Pourquoi doit-on prendre X=10 alors que le nombre de succès doit être égale a 8 ?

[chombier]

Oui c'est ça j'ai pris X=8 Pourquoi doit-on prendre X=10 alors que le nombre de succès doit être égale a 8 ?

X peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 10, en général. Il peut y avoir 10 succès. Mais pas plus.

Dans ton cas, tu dois calculer la probabilité de l'événement : "sur le lot de 10 boites prélevées au hasard, au moins huit ne contiennent pas une dose de pesticides dépassant les doses maximales autorisées", ce qui correspond à au moins 8 succès, donc p(X>=8).

Tu n'as pas calculé p(X>=8) mais p(X=8)

[CuteDrewn]

X peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 10, en général. Il peut y avoir 10 succès. Mais pas plus.

Dans ton cas, tu dois calculer la probabilité de l'événement : "sur le lot de 10 boites prélevées au hasard, au moins huit ne contiennent pas une dose de pesticides dépassant les doses maximales autorisées", ce qui correspond à au moins 8 succès, donc p(X>=8).

Tu n'as pas calculé p(X>=8) mais p(X=8)

Ah oui très bien je vois, mais il faut bien que X ai une valeur fixe pour le calculer ? Donc je prend X=10 qui est son maximum ?

[chombier]

Ah oui très bien je vois, mais il faut bien que X ai une valeur fixe pour le calculer ? Donc je prend X=10 qui est son maximum ?

Au moins 8 succès, en l'occurence, ça veux dire soit 8 succès, soit 9 succès, soit 10 succès.

p(X=8) c'est la probabilité d'avoir exactement 8 succès.
p(X=10) c'est la probabilité d'avoir exactement 10 succès.

[CuteDrewn]

Au moins 8 succès, en l'occurence, ça veux dire soit 8 succès, soit 9 succès, soit 10 succès.

p(X=8) c'est la probabilité d'avoir exactement 8 succès.
p(X=10) c'est la probabilité d'avoir exactement 10 succès.

J'ai bien compris cela mais je ne vois pas dans ce cas la comment on peut calculer la probabilité d'avoir au moins 8 succès ...Ce n'est pas en calculant la probabilité d'avoir 8 succès puis 9 succès puis 10 succès pour ensuite les ajouter...?

[chombier]

J'ai bien compris cela mais je ne vois pas dans ce cas la comment on peut calculer la probabilité d'avoir au moins 8 succès ...Ce n'est pas en calculant la probabilité d'avoir 8 succès puis 9 succès puis 10 succès pour ensuite les ajouter...?

Et pourquoi pas ?

p(X>=8) = p(X=8) + p(X=9) + p(X=10)

En effet, les événements "X=8", "X=9" et "X=10" sont deux à deux incompatibles, et leur union forme bien l'événement "X>=8"

[CuteDrewn]

Et pourquoi pas ?

p(X>=8) = p(X=8) + p(X=9) + p(X=10)

En effet, les événements "X=8", "X=9" et "X=10" sont deux à deux incompatibles, et leur union forme bien l'événement "X>=8"

C'est vrai c'est tellement logique Merci ! Du coup c'est a peu près la même chose pour la cinquième question ?

[chombier]

C'est vrai c'est tellement logique Merci ! Du coup c'est a peu près la même chose pour la cinquième question ?

Pour la question 5, je ne sais pas trop, mais ce n'est pas du tout la même technique à utiliser.

Je dirait qu'il faut utiliser un intervalle de confiance, mais je trouve que l'énoncé n'est pas très clair.

[CuteDrewn]

Pour la question 5, je ne sais pas trop, mais ce n'est pas du tout la même technique à utiliser.

Je dirait qu'il faut utiliser un intervalle de confiance, mais je trouve que l'énoncé n'est pas très clair.

Mais comment trouver les valeurs qui encadrent l'intervalle...je vais essayer de me débrouiller, merci déjà pour la grande aide que vous m'avez apporté.

[chombier]

Mais comment trouver les valeurs qui encadrent l'intervalle...je vais essayer de me débrouiller, merci déjà pour la grande aide que vous m'avez apporté.

Il faut calculer l'intervalle de confiance à 95%. Tu as du apprendre ça cette année.

Ensuite, selon que la valeur réelle de l'échantillon prélevé se trouve dans l'intervalle ou pas, les conclusions seront différentes.

[CuteDrewn]

Il faut calculer l'intervalle de confiance à 95%. Tu as du apprendre ça cette année.

Ensuite, selon que la valeur réelle de l'échantillon prélevé se trouve dans l'intervalle ou pas, les conclusions seront différentes.

Très bien je vais y travailler, merci