Fonction de deux variables

[yanisdourge]

Bonjour,
Pouvez-vous m'aider pour la résolution de certaine question de cet exercice :
f(x, y) = x^3 + 3xy^2 ;) 9y^2 ;) 12x + 1.
Pour un nombre réel c fixé, on notera Lc(f) l’ensemble de niveau c de f(x, y), c’est à direLc(f) = {(x, y) ;) R^2, f(x, y) = c}.

1) On considère l’application partielle ;) : x;) f(x,0).
1-a) Expliciter ;)(x) puis faire rapidement son étude : variations, limites aux bornes, maximum
(local), minimum (local).
1-b) Déduire de l’étude précédente que, pour tout réel c, l’ensemble de niveau Lc(f) contient au
moins un point de l’axe des abscisses.
2) Déterminer les dérivées partielles et le gradient de f(x, y) en tout point (x, y) du plan R^2
3-a) Donner le développement limité d’ordre 1 de f(x, y) au point A = (;)1, 1). Quelle est l’approximation
affine de f(x, y) en ce point ? Quel est le signe de f(;)1;)5h, 1+h) pour h > 0 assez
petit ?
3-b) Vérifier que la ligne de niveau L0(f) passe par A, et donner une équation de la tangente à
L0(f) en A.
4-a) Montrer queGrad(f)(x,y) est horizontal précisément lorsque (x, y) appartient à deux droites
dont on donnera l’équation. Montrer ensuite que Grad(f)(x,y) est vertical précisément lorsque (x, y)
appartient à un cercle qu’on précisera.
4-b) Représenter les deux droites et le cercle de la question 4-a) sur un même dessin, puis déterminer les deux points critiques de f.
4-c) Etudier l’application partielle ;) : y ;) f(2, y) pour y proche de 0 et montrer que l’application ;)
présente un maximum en 0. En déduire que f ne présente pas d’extremum local au point C = (2, 0)(utiliser aussi la question 1-a)). La fonction f(x, y) présente t-elle un minimum local en un point du plan ?

Je ne comprends pas la 1-b et la 4-c

[capitaine nuggets]

Bonjour,
Pouvez-vous m'aider pour la résolution de certaine question de cet exercice :
f(x, y) = x^3 + 3xy^2 9y^2 12x + 1.
Pour un nombre réel c fixé, on notera Lc(f) l’ensemble de niveau c de f(x, y), c’est à dire Lc(f) = {(x, y) R^2, f(x, y) = c}.

1) On considère l’application partielle : x;) f(x,0).
1-a) Expliciter (x) puis faire rapidement son étude : variations, limites aux bornes, maximum
(local), minimum (local).
1-b) Déduire de l’étude précédente que, pour tout réel c, l’ensemble de niveau Lc(f) contient au
moins un point de l’axe des abscisses.
2) Déterminer les dérivées partielles et le gradient de f(x, y) en tout point (x, y) du plan R^2
3-a) Donner le développement limité d’ordre 1 de f(x, y) au point A = (;)1, 1). Quelle est l’approximation
affine de f(x, y) en ce point ? Quel est le signe de f(;)1;)5h, 1+h) pour h > 0 assez
petit ?
3-b) Vérifier que la ligne de niveau L0(f) passe par A, et donner une équation de la tangente à
L0(f) en A.
4-a) Montrer queGrad(f)(x,y) est horizontal précisément lorsque (x, y) appartient à deux droites
dont on donnera l’équation. Montrer ensuite que Grad(f)(x,y) est vertical précisément lorsque (x, y)
appartient à un cercle qu’on précisera.
4-b) Représenter les deux droites et le cercle de la question 4-a) sur un même dessin, puis déterminer les deux points critiques de f.
4-c) Etudier l’application partielle : y f(2, y) pour y proche de 0 et montrer que l’application
présente un maximum en 0. En déduire que f ne présente pas d’extremum local au point C = (2, 0)(utiliser aussi la question 1-a)). La fonction f(x, y) présente t-elle un minimum local en un point du plan ?

Je ne comprends pas la 1-b et la 4-c

1-b) D'après les questions précédentes, cela signifie qu'on peut toujours trouver une point tel que .

[yanisdourge]

Pourquoii???

[yanisdourge]

1-b) D'après les questions précédentes, cela signifie qu'on peut toujours trouver une point tel que .

Pourquoii cela?