Equation fonctionnelle

[lapras]

Bonsoir,
voici un problème auquel je n'ai pas de solution (et que j'ai inventé).
Soit un nombre premier et un diviseur premier de (je suppose qu'un tel existe). Trouver toutes les fonctions telles que :

1) Pour tout différent de ,
2)

EDIT : Comme le remarque Doraki, 1) et 2) impliquent que
Remarquons que le "logarithme discret" (unique à un scalaire près) vérifie cette équation fonctionnelle. Est-ce que ce sont les seules solutions ?

Lapras

[Doraki]

si N = 5 tu ne peux pas prendre p >= 3 diviseur premier de N-1.

le logarithme discret ne vérifie pas forcément ta 3ème équation ? là si N=1 mod 4 on a f(i) = f(-i) = 0

le (2) est redondant :

pour x <> 0,-1 on a par (1)
f(x) = f(x+1) - f(1/x +1) et f(1/x) = f(1/x +1) - f(x+1)
donc f(1/x) = -f(x)

par (1) on a f(1) = f(2) - f(2) donc f(1) = 0.
par (3) on a f(-1) = f(1) = 0,
donc f(-1) = -f(-1) : (2) est vrai pour x= -1

[lapras]

si N = 5 tu ne peux pas prendre p >= 3 diviseur premier de N-1.

le logarithme discret ne vérifie pas forcément ta 3ème équation ? là si N=1 mod 4 on a f(i) = f(-i) = 0

le (2) est redondant :

pour x 0,-1 on a par (1)
f(x) = f(x+1) - f(1/x +1) et f(1/x) = f(1/x +1) - f(x+1)
donc f(1/x) = -f(x)

par (1) on a f(1) = f(2) - f(2) donc f(1) = 0.
par (3) on a f(-1) = f(1) = 0,
donc f(-1) = -f(-1) : (2) est vrai pour x= -1

Doraki >
Effectivement, le (2) est redondant.
Je précise que je suppose que N vérifie qu'il existe p premier impair divisant (N-1)/2.
Donc en particulier, quand je projète modulo p le logarithme discret vérifie bien log(-x)=log(x) (car log(-1)=(N-1)/2 qui est nul modulo p).

[Ben314]

Salut,
Y'a un truc pas super clair :
- Si est le groupe des éléments inversibles, je vois pas pourquoi tu précise "pour x non nul" dans 1) et je vois pas pourquoi x+1 et 1/x+1 sont aussi dans lorsque x est dedans.
- Si est l'ensemble des éléments non nuls, je vois pas pourquoi tu précise "pour x non nul" dans 1) et je vois pas pourquoi 1/x existe lorsque .

Donc ça doit être ni de l'un ni de l'autre que tu parle, mais, je vois pas ce que c'est...

[lapras]

Ben > Effectivement je n'ai pas besoin de x non nul.
En revance, si x différent de -1 mod N, alors x+1 et 1/x +1 sont non nuls donc inversibles mod N car N est premier.

[Ben314]

Désolé, je suis effectivement dans le paté : j'avais lu p premier et N quelconque...

[lapras]

Double post désolé

[lapras]

Voici pourquoi je suis intéressé par cette équation fonctionnelle.

Considérons les matrices , et
On a .
Je cherche les fonctions (où est le -module libre de base les symboles formels pour dans ) vérifiant :
1) Si est différent de , alors où (ici , et je ne considère que son action sur quand ça a un sens).
2) Si ,
3)

Rechercher ces fonctions revient à l'équation fonctionnelle initiale.

En fait, je suis vraiment intéressé par la chose suivante (peut-être plus facile). Considérons un entier et qui à associe . Alors si , ne vérifie pas 1),2),3). Mais j'aimerais modifier de manière "naturelle" (informellement) pour qu'elle vérifie quand même 1),2),3) (par exemple si on avait que la condition 1, je peux considérer , qui vérifie bien 1).