Endomorphisme

[Victhemath]

Bonjour, j'ai un cours à étudier sur les endomorphisme ce weekend et j'ai en face de moi le théorème suivant :

Soit F en somme directe avec G qui donne E, On appelle projection sur F parallèlement à G l'application :

P restreinte à F et co-restreinte à G :

J'ai deux petits exos d'application :
*On considère E=K². Quelle est l'expression analytique de la projection sur {(x,y,z)€K^3, x+y+z=0} parallèlement à vect(1,1,1) ?

*Considérons K=R et E=R^3.
L'application "partie paire" f-->p(f)=x-->(f(x)+f(-x))/2 est une projection : pour quoi ? sur quoi ? parallèlement à quoi ?

Merci de vos aides !

[zygomatique]

salut

notons P le plan et D la droite engendré par w = (1, 1, 1)

détermine deux vecteurs u et v engendrant P tels que (u, v, w) soit une base

alors si x = au + bv + cw alors p(x) = au + bv

....

toute fonction f s'écrit de façon unique f = s + a avec s(x) = (f(x) + f(-x))/2 et a(x) = (f(x) - f(-x))/2

avec s dans S = {fonction paire} et a dans A = {fonction impaire}

et l'ensemble des fonctions est somme directe de S et A

....

[Ben314]

Salut,
Pour le 1), c'est pas super malin de chercher une base du plan (i.e. des équations paramétriques).

Là, tu as une base de D (donc des équations paramétriques) et l'équation cartésienne de P : ce "mixte" est l'idéal pour chercher à résoudre un système parlant de P et de D vu qu'il suffit "d'injecter" les équations paramétriques dans les équations cartésiennes.
De façon plus pragmatique, ici, tu part d'un vecteur (X,Y,Z) que tu veut décomposer en une somme d'un vecteur de D et d'un vecteur de P. Le vecteur de D est évidement de la forme t.(1,1,1) et il reste à trouver t pour que (X,Y,Z)-t.(1,1,1) soit dans P, c'est à dire (X-t)+(Y-t)+(Z-t)=0.
Ça te permet de tout résoudre avec une équation à une inconnue (et pas 3 équation à 3 inconnues ce qui aurait été le cas si on t'avait donné une base de P et pas une équation)

[Victhemath]

Merci à vous deux, vous m'avez été d'une grande aide ! :)

Sinon, j'ai encore un petit exercice.
Considérons K=R et E=C, vu comme R-espace vectoriel. La conjugaison est une symétrie. Pourquoi ? Par rapport à quoi ? Parallèlement à quoi ?

Je pense que je dois exhiber une somme directe, de l'aide serait la bien venue :)

[Ben314]

C'est quoi la base la plus simple qui soit de C vu comme R-e.v. ?
C'est quoi la conjugaison, vue dans cette base ?
Conclusion.

P.S. ça, il faut que tu trouve tout seul : c'est... totalement évident...

[zygomatique]

une base triviale de P est est (1, -1, 0) et (1, 0, -1)

:lol3: