Dm terminale ES

[Camftn]

Bonjour, alors voilà j'ai un dm à rendre pour jeudi, j'ai réussi deux-trois bricoles dedans mais j'ai besoin d'aide car je n'y arrive pas forcément bien...

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [2:5] par f(x)=(3-x)e^x+1
soit f' sa fonction dérivée et f'' sa fonction dérivée seconde.

1. Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [2;5], f'(x)=(2-x)e^x et f''(x)=(1-x)e^x.

2.Etudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [2;5].

3. Justifier que l'équation f(x)=0 admet une unique solution dans l'intervalle [2;5].
Montrer que 3
4.a) Soit T la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 3.
Montrer que T a pour équation y=-e^3+3e^3+1.
b) Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite T et de l'axe des abscisses.
c) Etudier le signe de f''(x) sur l'intervalle [2;5] et en déduire la convexité ou la concavité de f sur cet intervalle.
d) En déduire que : alpha < 3+1/e^3
On a donc : 3 < alpha < 3+1/e^3 < 3.05

J'ai trouvé pour la question 1, pour la question 2 j'aurai besoin qu'on m'aide pour faire le tableau de variation car j'ai un peu de mal, la question 3 j'ai trouvé également et j'aurai vraiment besoin d'aide pour la suite des questions... Je vous en remercie d'avance :)

[capitaine nuggets]

Bonjour, alors voilà j'ai un dm à rendre pour jeudi, j'ai réussi deux-trois bricoles dedans mais j'ai besoin d'aide car je n'y arrive pas forcément bien...

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [2:5] par f(x)=(3-x)e^x+1
soit f' sa fonction dérivée et f'' sa fonction dérivée seconde.

1. Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [2;5], f'(x)=(2-x)e^x et f''(x)=(1-x)e^x.

2.Etudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [2;5].

3. Justifier que l'équation f(x)=0 admet une unique solution dans l'intervalle [2;5].
Montrer que 3<alpha<4.

4.a) Soit T la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 3.
Montrer que T a pour équation y=-e^3+3e^3+1.
b) Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite T et de l'axe des abscisses.
c) Etudier le signe de f''(x) sur l'intervalle [2;5] et en déduire la convexité ou la concavité de f sur cet intervalle.
d) En déduire que : alpha < 3+1/e^3
On a donc : 3 < alpha < 3+1/e^3 < 3.05

J'ai trouvé pour la question 1, pour la question 2 j'aurai besoin qu'on m'aide pour faire le tableau de variation car j'ai un peu de mal, la question 3 j'ai trouvé également et j'aurai vraiment besoin d'aide pour la suite des questions... Je vous en remercie d'avance

2°) Pour , étudie le signe de . Déduis-en les variations de f puis dresse son tableau de variations.
3°) Sers-toi du tableau de variation de la question précédente :+++:
4°)a) Une équation de la tangente à la courbe représentative de au point d'abscisse est .

[Camftn]

Merci pour ton aide mais pour la question 4 et la suite je n'y arrive pas malgré la formule que j'ai, peux-tu encore m'éclaircir un peu plus? :)

[paquito]

C'est donné en T° ES ça!
1)Pour le calcul des dérivées, il faut bien utiliser les formules pour un produit, puis mettre e^x en facteur.
2)f'(x) est du signe de 2-x car e^x>0, donc négative sur [2; 5], f est strictement décroissante sur cet intervalle.
3) f(2)=e+1>0; F(5)=-2e^5+1=-295,8...<0, donc s'annule sur[2; 5] et ne s'annule qu'une fois car elle est strictement décroissante. Notons alpha l'unique solution.
f(3)=1>0 et f(4)=-e^4+1=-53,5...<0, donc 34) pour l'équation de la tangente, on trouve bien y=-e^3.x+3e^3+1( y=f'3(x-3)+f(3))
b)On résout -e^3.x+3e^3+1<=>x=3+1/e^3
c) f''(x) est du signe de 1-x, donc <0 sur [2; 5] donc f est concave sur l'intervalle, ce qui veut dire que toutes les tangentes sont au dessus de la courbe, ce qui permet de dire que alpha<3+1/e^3.

Je t'ai beaucoup aidé, car ce problème me semble un peu pointu en T°ES (concavité????); N'hésite pas à visualiser la courbe et la tangente pour bien voir ce qui se passe; Xmin:2 Xmax:4 Ymin:-10 Ymax:10.