DM Terminale ES Continuité sur un intervalle

[LuXuRy]

Bonjour, je fais appel à vos connaissances car je ne m'en sors pas du tout avec l'exercice suivant :

Le bénéfice d'une entreprise en milliers d'euros, en fonction de la quantité x d'objets vendus,en milliers d'unité, est modélisé par B(x) = -2/3xcube + 11/2 x² + 6x - 20 pour x appartenant à [0;10]

a) Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle [0;10]

b) Justifier que l'équation B(x) = 0 a deux solutions x1 et x2 dans [0;10]

c) Déterminer une valeur approchée de x1 et une valeur approchée de x2 à 10 puissance -3 près.

d) En déduire, à l'unité près, la quantité minimale et la quantité maximale que l'entreprise doit vendre pour que son activité soit rentable.

e) Déterminer la quantité d'objets à vendre pour que le bénéfice soit maximal. Quel est ce bénéfice maximal ?


Merci de votre aide !

[Luc]

Salut,

a) tu devrais penser automatiquement à calculer la fonction dérivée B'(x) dès qu'il est question des variations de B. Détermine le signe de B'(x) (il y a une équation du second degré à résoudre) et tu pourras en déduire les variations de B

b) Pense au théorème des valeurs intermédiaires (B est une fonction continue)

c) La calculatrice pourra être utilisée je pense

d) Comment traduis-tu sur le bénéfice le fait que l'activité soit rentable?

e) Au point de bénéfice maximal, que vaut la dérivée du bénéfice?

Bon courage!

[LuXuRy]

Merci de ta réponse !

Je sais dérivée la fonction, je connais ses variations bref jusqu'au c) ça va ! Mais la question d) j'ai du mal à la saisir concrètement ... Comment déduire la quantité minimale et la quantité maximale ?
Idem pour la e)

[Luc]

Merci de ta réponse !

Je sais dérivée la fonction, je connais ses variations bref jusqu'au c) ça va ! Mais la question d) j'ai du mal à la saisir concrètement ... Comment déduire la quantité minimale et la quantité maximale ?
Idem pour la e)

Dire que l'activité est rentable c'est la même chose que dire que le bénéfice est positif non? (là ce n'est pas des maths, juste du bon sens commercial). Que peux-tu en déduire?

[LuXuRy]

a) B'(x) = -2x² + 11x + 6

Je fais son discriminant et je trouve : x1 = 6 et x2 = - 0,5

Donc sur l'intervalle [0;6[ B est positive donc croissante
Sur l'intervalle ]6;10] B est négative donc décroissante.

Pour compléter mon tableau de variation je calcule les minimums et maximum, à savoir :
- B(0) = -20
- B(6) = 70
- B(10) = -910

b)
B(x) est une fonction continue sur [0;10] car elle est dérivable sur cet intervalle.
On sait que B(x)=0 admet 2 solutions (x1 et x2) car elle est strictement croissante sur [0;6[ et strictement décroissante sur ]6;10] d'après le théorème des valeurs intermédiaires.

c)
Je connais x1=6 et x2= -0,5 donc à 10puissance -3 près x1= 6X10puissance-3 = 0,006 et x2 = -0,5X10puissance-3 = - 0,0005

Donc voilà où j'en suis, je n'arrive pas à déduire la qté minimale et la qté maximale pour que l'entreprise fasse des bénéfices ... Désolé je suis un peu long à la détente

[Luc]

Que penses-tu de l'intervalle [x1,x2] ?

[LuXuRy]

L'intervalle est décroissant

[Luc]

L'intervalle est décroissant

??? Ça ne veut rien dire ça, si? :hein:

[LuXuRy]

Je ne sais pas quoi vous répondre l'intervalle [0,006;-0,0005] est difficilement compréhensible

[Luc]

Attention, il y a une confusion entre la fonction B et sa dérivée.
En fait si tu appelles x1 et x2 les racines de B'(x) (solutions de B'(x)=0), tu ne peux pas aussi appeler x1 et x2 les racines de B(x) (solutions de B(x)=0). Appelons donc x3 et x4 les racines de B(x).

Je te parlais de l'intervalle [x3,x4].

Et pour rappel, c'est le signe de la dérivée qui est relié au sens de variation de la fonction.
Donc sur l'intervalle [0;6[ B' est positive (et pas B) donc B est croissante
Sur l'intervalle ]6;10] B' est négative (et pas B) donc B est décroissante.

Donc je repose ma question : que penses-tu de l'intervalle [x3,x4]?

[LuXuRy]

Je me suis trompé et je dois donc calculer B(x)=0 mais je ne sais pas comment trouver ces deux solutions par le calcul ... Je ne sais le faire que pour la dérivée, éclairez-moi

[LuXuRy]

Comment dois-je calculer les racines de B(x)=0 si je ne peux la dérivé ?

[Luc]

Je me suis trompé et je dois donc calculer B(x)=0 mais je ne sais pas comment trouver ces deux solutions par le calcul ... Je ne sais le faire que pour la dérivée, éclairez-moi

Justement on ne peux pas trouver les solutions par le calcul, on peut seulement en démontrer l'existence (par le théorème des valeurs intermédiaires), l'unicité (par la stricte croissance / strice décroissance) et en donner une valeur approchée, avec calculatrice. C'est pour ça que la question c te demande la valeur approchée de ces nombres.

[LuXuRy]

Je trouve donc à peu près (je préciserai dans le DM) x1=1,2 et x2=8,8

[Luc]

Je trouve donc à peu près (je préciserai dans le DM) x1=1,2 et x2=8,8

Ok, mais on te demande les résultats à 10 puissance -3 près.

[LuXuRy]

Oui
d)
donc pour la qté minimale ce serait 1000 unités et pour la qté maximale ce serait 8000 unités d'objets vendus pour que l'activité économique de l'entreprise soit rentable ?

[Luc]

Oui
d)
donc pour la qté minimale ce serait 1000 unités et pour la qté maximale ce serait 8000 unités d'objets vendus pour que l'activité économique de l'entreprise soit rentable ?

A peu près mais il faut que tu donne une réponse à l'unité près.

[LuXuRy]

C'est à dire ? Comme ça : qté minimale 1 (sous entendu milliers) et qté maximale 8 ( sous entendu milliers) ?

[Luc]

C'est à dire ? Comme ça : qté minimale 1 (sous entendu milliers) et qté maximale 8 ( sous entendu milliers) ?

Non, tu as donné ici des valeurs arrondies au millier d'unités. L'énoncé demande des valeurs arrondies à l'unité près. Donc des valeurs approchées de x1 et x2 à 0,001 près.

[LuXuRy]

Oui ça OK mais je les donne déjà dans la question c) les valeurs a 0,001 près. Maintenant j'aimerais savoir comment déduire les qté minimales et maximales ? Je ne vais pas re-recité les valeurs x1 et x2 quand même ?