Fonction réciproque

[DAYDAMOUN]

soit f une fonction dérivable sur R . on suppose que f(0)=0; \lim_{x \to -infty} f(x)=1/2; \lim_{x \to +infty} f(x)=-1/2 ;et \forall \in R ;f'(x)=-1/ \Pi(1+x²)
1) mq f est bijective de R sur ]-1/2; 1/2[;
2) soit la fonction g définie sur ]-\Pi/2; \Pi/2[ par g(x)=f(tg(x))
a-mq \forall x \in ]-\Pi/2; \Pi/2[ ;g(x)=(-1/\Pi)x
b- en déduire f^{-1},\forall x \in ]-1/2; 1/2[
3) soit k(x) la fonction définie par k(x)=f((1+x)/(1-x))
a- mq k est dérivable sur [0,1[ et calculer k'(x)
b- en déduire que \forall x \in [0,1[;k(x)=h(x)-(1/4)
4) soit (Un) la suite définie par :
Un=1/(n+1)\bigsum_{k=n}^{2n} f(1/k)
a- donner un encadrement de Un puis calculer \lim_{x \to +infty} Un
b- on pose Vn =1/(n+1)\bigsum_{k=n}^{2n} h(1-2/(1-k))
mq Vn=Un-(1/4) puis determiner \lim_{x \to +infty} Vn.
j'ai fait 1 et 2)a seulement le reste j'ai pas pu le faire .
aidez-moi svp j'ai un probleme avec les fonctions composées :'(

[Tiruxa]

Pas évident à lire.... avec quelques balises de plus cela devrait donner :

soit f une fonction dérivable sur R . on suppose que f(0)=0; ; ;et ;f '(x)=
1) mq f est bijective de R sur ]-1/2; 1/2[;
2) soit la fonction g définie sur par g(x)=f(tg(x))
a-mq ;
b- en déduire ]-1/2; 1/2[
3) soit k(x) la fonction définie par k(x)=f((1+x)/(1-x))
a- mq k est dérivable sur [0,1[ et calculer k'(x)
b- en déduire que[0,1[;k(x)=h(x)-(1/4)
4) soit (Un) la suite définie par :

a- donner un encadrement de Un puis calculer
b- on pose
mq Vn=Un-(1/4) puis determiner
j'ai fait 1 et 2)a seulement le reste j'ai pas pu le faire .
aidez-moi svp j'ai un probleme avec les fonctions composées :'

[Tiruxa]

[Tiruxa]

Quelques éléments pour la suite de l'exercice :

3a) On doit trouver k'=f '.
3b)
On en déduit que k=f+cte
Le calcul de la constante se fait en prenant x égal à 0.
cte = k(0)-f(0)=f(1)-f(0)

f(0)=0
Pour f(1), on va utiliser la fonction réciproque de f
Posons f(1)=a, a est élément de ]-0,5;0,5[
cela signifie que ou encore tan(- pi a)=1=tan(pi/4)
on sait que -pi a est élément de ]-pi/2;pi/2[
donc -pi a = pi/4 et a = -1/4
On trouve donc que k = f -1/4 (on peut remarquer une erreur d'énoncé c'est f non pas h, celui-ci n'existe pas dans l'énoncé, on retrouve d'ailleurs cette erreur au 4b.

[DAYDAMOUN]

merci infiniement