Algèbre Polynome

[bneay]

Salut tt le monde, voilà un bon exo:

soient P,Q deux polynôme de IR[X], tq: .
On pose

Montrer que si P et Q sont scindés sur IR , alors R est scindé sur IR.

[MMu]

Salut tt le monde, voilà un bon exo:

soient P,Q deux polynôme de IR[X], tq: .
On pose

Montrer que si P et Q sont scindés sur IR , alors R est scindé sur IR.

Que signifie : la -ème puissance ou la -ème dérivée ?
:zen:

[bneay]

Que signifie : la -ème puissance ou la -ème dérivée ?
:zen:

C'est entre parenthèse je pense, non?
alors c'est la kième dérivée

[Matt_01]

Si on écrit avec .
Alors, en définissant avec l'opérateur de dérivation sur l'ensemble des fonctions Cinf (par exemple), on obtient :
Maintenant, il faut verifier que pour u réel, conserve la propriété d'être scindé (ainsi par récurrence, c'est terminé).

En considérant P scindé dans R, de degré n, à k racines distinctes :
On considère
Alors eq et eq
A l'aide du théorème de Rolle, on obtient racines simples distinctes de , différentes des racines de .
Ensuite, en notant le degré de la racine de , on a que est de degré pour.
En sommant les degrés, on obtient bien la somme des - 1, et donc est scindé dans R.

C'est mal dit, et il peut y avoir des erreurs, mais je pense que l'idée de la preuve est là.

[Ben314]

:++: :++: Bien vu !!! :++: :++:

[Matt_01]

Merci, mais il me semble qu'il y a un (petit) oubli :
On montre que la somme des ordres vaut n-1, seulement le polynôme est encore de degré n. Mais ca ne pose pas de problème vu qu'une racine complexe amènerait aussi son conjugué, ce qui donnerait un degré supérieur strictement à n.
C'était pour voir si tout le monde suivait.