Si on écrit
avec
.
Alors, en définissant
avec
l'opérateur de dérivation sur l'ensemble des fonctions Cinf (par exemple), on obtient :
Maintenant, il faut verifier que pour u réel,
conserve la propriété d'être scindé (ainsi par récurrence, c'est terminé).
En considérant P scindé dans R, de degré n, à k racines distinctes :
On considère
Alors
eq
et
eq
A l'aide du théorème de Rolle, on obtient
racines simples distinctes de
, différentes des racines de
.
Ensuite, en notant
le degré de la racine
de
, on a que
est de degré
pour
.
En sommant les degrés, on obtient bien la somme des
- 1, et donc
est scindé dans R.
C'est mal dit, et il peut y avoir des erreurs, mais je pense que l'idée de la preuve est là.