Nombre complexe

par **paquito** » 02 Mar 2014, 14:12

J'utililise: (mod(z))²=z.conj(z) et si z=x+iy avec x non-nul, tan(arg(z))=y/x.
J'ai ainsi trouvé que z était réel et que arg((z+i)/(z-i))=2arctan(1/x), ce qui donne arg((z+i)/z-i)^n=
2n.arctan(1/x).
Reste à résoudre 2n.arctan(1/x)=pi+2kpi ce qui donne 1/x=tan(pi/2n+kpi/n), puis on trouve les valeurs de x non nulles. Exercice pas drôle!

par **Ben314** » 02 Mar 2014, 20:45

Je soupsonne fort (vu l'exercice) que tu as vu en cours une méthode plus simple et plus directe pour résoudre des équations de la forme Z^n=constante connue.

Indication : "forme polaire"...

par **paquito** » 02 Mar 2014, 21:26

Ben314 a écrit:Je soupsonne fort (vu l'exercice) que tu as vu en cours une méthode plus simple et plus directe pour résoudre des équations de la forme Z^n=constante connue.

Indication : "forme polaire"...

J'ai juste fait une figure pour "deviner" z réel...

par **chan79** » 03 Mar 2014, 21:24

paquito a écrit:J'ai juste fait une figure pour "deviner" z réel...

Tu as

donc

En posant z=a+ib

a²+(b+1)²=a²+(b-1)²
donc b=0

par **maryu** » 03 Mar 2014, 22:21

chan79 directement en déduis les valeurs n ieme de -1 c pas la peine de montrer que z est réel ou je ne sais pas ce que vous cherchez

par **chan79** » 03 Mar 2014, 23:16

maryu a écrit:chan79 directement en déduis les valeurs n ieme de -1 c pas la peine de montrer que z est réel ou je ne sais pas ce que vous cherchez

A partir des racines n ièmes de -1, tu dois trouver les n racines (réelles) que tu peux éventuellement mettre sous la forme suivante:

pour

variant de 0 à (n-1)

par **maryu** » 03 Mar 2014, 23:40

franchement je n'ai pas compris car au début j' ai pas cru qu'on aura des formes de cotan et l'autre mec dis tan s'ils vous plait quelqu'un rédige la réponse exacte car je me sent perdu vraiment et merci d'avance

par **chan79** » 04 Mar 2014, 08:25

maryu a écrit:franchement je n'ai pas compris car au début j' ai pas cru qu'on aura des formes de cotan et l'autre mec dis tan s'ils vous plait quelqu'un rédige la réponse exacte car je me sent perdu vraiment et merci d'avance

Essaie de rédiger avec toutes les infos que tu as eues. On te dira si ça va ou pas.

Pour visualiser les solutions

par **paquito** » 04 Mar 2014, 10:41

Si tu résous Z^n=-1, tu auras les solutions sous la forme e^i(pi/n+2kpi/n) mais Z=(x+i)/(x-i) n''est pas sous la forme e^i(teta) ce qui procure une difficulté.
On a arg(x+i)/(x-i)=arg(x+i)- arg(x-i)=2arg(x+i) car x+i et x-i sont conjugués.
D'autres part, x+i= rau.cos(teta)+i.rau.sin(teta), d'où rau.sin(teta)/rau.cos(teta)=sin(teta)/cos(teta) =tan(teta) si rau est non nul; donc tan(arg(x+i))=1/x. Voilà comme complément d'information.
Cet exercice a été donné en quelle classe?
Pour x=1, (1+i)/1-i)=i et donc z=1 est solution pour n pair; 0 est solution pour n impair;
tu peux vérifier que pour n pair, -1 est aussi solution.
En résumé, i est solution avec n comme ordre de multiplicité; ensuite pour n impair o est solution et pour n pair, 1 et -1 sont solutions; on avance.

par **chan79** » 04 Mar 2014, 10:52

paquito a écrit:Si tu résous Z^n=-1, tu auras les solutions sous la forme e^i(pi/n+2kpi/n) mais Z=(x+i)/(x-i) n''est pas sous la forme e^i(teta) ce qui procure une difficulté.
On a arg(x+i)/(x-i)=arg(x+i)- arg(x-i)=2arg(x+i) car x+i et x-i sont conjugués.
D'autres part, x+i= rau.cos(teta)+i.rau.sin(teta), d'où rau.sin(teta)/rau.cos(teta)=sin(teta)/cos(teta) =tan(teta) si rau est non nul; donc tan(arg(x+i))=1/x. Voilà comme complément d'information.
Cet exercice a été donné en quelle classe?

Salut
Pour ma part, je trouve qu'à part la solution i, les n autres solutions sont (si n>1):

avec

variant de

à

par **paquito** » 04 Mar 2014, 11:36

chan79 a écrit:Salut
Pour ma part, je trouve qu'à part la solution i, les n autres solutions sont (si n>1):

avec variant de à

Tu as raison, c'est évidement plus simple de passer par cotan! Mais est ce que cette fonction est connue? en TS, ça m'étonnerais.

par **chan79** » 04 Mar 2014, 13:34

paquito a écrit:Tu as raison, c'est évidement plus simple de passer par cotan! Mais est ce que cette fonction est connue? en TS, ça m'étonnerais.

Alors peut-être

par **maryu** » 04 Mar 2014, 13:42

ca y'est mes amis a la fin j'ai eu comme solutions exactement comme vous dites 1/tan(pi/2n+2k/2n) tel que k entre 0 et n-1

par **paquito** » 04 Mar 2014, 14:34

maryu a écrit:ca y'est mes amis a la fin j'ai eu comme solutions exactement comme vous dites 1/tan(pi/2n+2k/2n) tel que k entre 0 et n-1

Oui, mais sous cette forme, si n est impair et k=(n-1)/2 tu obtiens 1/tan(pi/2) qui n'est pas défini mais
cela correspond à z=0, problème que tu évites en te servant de cotan(x)=1/tan(x).
Décidément, cet exercice est résistant!

par **chan79** » 04 Mar 2014, 15:16

paquito a écrit:Oui, mais sous cette forme, si n est impair et k=(n-1)/2 tu obtiens 1/tan(pi/2) qui n'est pas défini mais
cela correspond à z=0, problème que tu évites en te servant de cotan(x)=1/tan(x).
Décidément, cet exercice est résistant!

oui, il vaut mieux laisser

par **chan79** » 04 Mar 2014, 15:20

paquito a écrit:Oui, mais sous cette forme, si n est impair et k=(n-1)/2 tu obtiens 1/tan(pi/2) qui n'est pas défini mais
cela correspond à z=0, problème que tu évites en te servant de cotan(x)=1/tan(x).
Décidément, cet exercice est résistant!

Effectivement, il faut plutôt mettre

Exo un peu coriace, en effet !
Ne pas oublier la solution z=i, pour l'équation de départ

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