Nombre complexe

[maryu]

bonjour tout le monde j'ai un exercice à faire qui me bloque :

résoudre dans C l'équation: (z^2+1)^n+(z-i)^2n=0

[siger]

Bonjour,

Utiliser la notation d'Euler
z = r(cosx +i*sinx)
et la formule de Moivre
(cosx+i*sinx)^n = cos(nx) + i*sin(nx)
.......

[maryu]

mais dans ce cas la on a z^2 et z d'ou peut on apparaitre cosx et sinx

[chan79]

mais dans ce cas la on a z^2 et z d'ou peut on apparaitre cosx et sinx

il y a aussi z²+1=(z+i)(z-i)

[maryu]

oui CHAN79 donc on aura (z+i)^n(z-i)^n+(z-i)^2n=0 alors (z-i)^n[(z+i)^n+(z-i)^n]=0

[Ben314]

A mon avis, il faut commencer par visualiser le truc simplement sous la forme A^n+B^(2n)=0.
Comment, partant d'un truc de se genre, se ramener à la seule équation de degrés n que l'on sait bien résoudre sur C, c'est à dire à Z^n=constante ?

Une fois que tu aura répondu à cette question, tu verra qui tu doit écrire sous la forme polaire R.e^(i.theta).
indic : ce n'est pas forcément le z de départ qu'on a intérêt à écrire r.e^(i.theta)...

[paquito]

(z²+1)^n+(z-i)^2n=((z+i)(z-i))^n-(z-i)^2n=(z-i)^n((z+i)^n-(z-i)^n), d'où

(z-i)^n=o ou (z+i)^n=(z-i)^n.
Posons Z=(z-i), Z'= (z+i)est son conjugué;
Z^n =0 équivaut à Z=o.
Z=Z' équivaut à (z+i)^n réel, donc arg(z+i) =kpi/n, d'où les résultats.
j'ai juste mis (z-i)^n en facteur.

[maryu]

paquito j'ai pas bien compris ce que tu as écris refais la

[paquito]

J'ai été un peu trop vite et j'ai écris des bêtises!
ce qui est sur, c'est que (z-i)^n=0 donne comme réponse z=i (c'est déjà ça!)
par contre, z-i n'est pas le conjugué de z+i et il faut résoudre (z-i)^n=(z+i)^n, ce qui n'a rien d'évident; je cherche une solution.

[paquito]

si n est pair (z-i)^n-(z+i)^n=(2z)^n/2(-2i)^n/2 et la seule solution est z=0.
si n est impair, (z-i)^n-(z+i)^n= (-2i)( (z-i)^(n-1)+(z-i)^n-2(z+i)+.........+(z+i)^(n-1)) et là.... je bloque aussi.

[Ben314]

il y a aussi z²+1=(z+i)(z-i)

Effectivement, comme d'hab., j'avais regardé l'énoncé "en diagonale" et j'avais même pas fait gaffe que les deux trucs à la puissance étaient liés...

Sinon, sans réfléchir, perso, j'aurais écrit que, pour z différent de i (cas à étudier "à part" et qui en fait marche), on a

ce qui conduit à résoudre l'équation (classique) puis les équations "les truc trouvés comme solutions de "
Et c'est là que, si j'avais fait les calculs..., je me serais rendu compte que ben ça se simplifiait...

[chan79]

si n est pair (z-i)^n-(z+i)^n=(2z)^n/2(-2i)^n/2 et la seule solution est z=0.
si n est impair, (z-i)^n-(z+i)^n= (-2i)( (z-i)^(n-1)+(z-i)^n-2(z+i)+.........+(z+i)^(n-1)) et là.... je bloque aussi.

idée de recherche

[maryu]

maintenant c quoi la réponse exacte !!!

[chan79]

maintenant c quoi la réponse exacte !!!

Tu peux les trouver facilement à partir des racines n-ièmes de -1

[paquito]

Tentons de résoudre: ((z+i)/(z-i))^n=-1: ça implique mod((z+i)/(z-i))=1;
or mod²(z+i)=zz(barre)+2Im(z)+1 et mod²(z-i)=zz(barre)-2Im(z) +1 donc on aboutit à Im(z)=0 et z est réel.
Posons z=x+i; on a tan(arg(z+i))=1/x et tan(arg(z-i))=-1/x si x n'est pas nul (cas à étudier); dans tous les cas, on trouve que arg((z+i)/(z-i))=2arctan(1/x). Je te laisse continuer...

[mikaelkill]

quelqun peux maider
(3+3)*4+13-(2*2)*8+(8+2*3)*0=?????
ses quoi la reponce

[beagle]

quelqun peux maider
(3+3)*4+13-(2*2)*8+(8+2*3)*0=?????
ses quoi la reponce

on s'occupe de ton cas au forum collège, ne va pas polluer les autres fils, merci!

[paquito]

ça fait 5, mais quel est le rapport avec ton exercice?

[maryu]

paquito je m'excuse mais je n'ai rien compris peux tu stp réecrire la réponse car cet ecriture me ruine

[chan79]

Tu peux les trouver facilement à partir des racines n-ièmes de -1

Excepté i, les solutions sont réelles et si z est solution, alors -z l'est aussi
Si n est impair, 0 est solution.