Système Hamiltonien

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Aispor
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Système Hamiltonien

par Aispor » 10 Mar 2019, 21:52

Bonjour,
je dois trouver l'hamiltonien du système


et dessiner son portrait de phase.

Tout d'abord, l'hamiltonien est défini par



donc



et H est de la forme

Pour dessiner l'hamiltonien du système, on ne prend pas en compte la constante et on doit alors dessiner dans le plan (x,y) les différentes courbes est une constante.

Puisque je n'y arrivait pas, j'ai décidé de considérer le gradient du système :

Mais en réalité de ne vois pas non plus comment tracer le gradient sur le graphe.

Merci d'avance



aviateur
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Re: Système Hamiltonien

par aviateur » 10 Mar 2019, 23:22

Bonjour
Tes courbes dépendent de H et sont assez variées.
Eventuellement dans ton cas il faut utiliser un logiciel pour avoir quelques représentations.
Il y a 3 points d'équilibres, peut-être tu peux te focaliser en ces points pour avoir une idée de la nature de ces points?
Perso je ne vois pas trop ce que tu peux faire de plus. Mais il y a d'autres questions peut-être?

Skullkid
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Re: Système Hamiltonien

par Skullkid » 11 Mar 2019, 18:00

Bonjour, il y a peut-être un souci de terminologie : a priori le portrait de phase de ton système c'est un ensemble de courbes qui vivent dans l'espace des phases à 4 dimensions (x,y,x',y'), donc c'est pas évident à dessiner (tu peux en dessiner des sections). En revanche, et c'est ce que tu as l'air de suggérer, tu peux dessiner les lignes de niveau de ton hamiltonien dans le plan (x,y). Comme dans ton cas le hamiltonien ne dépend que de x et de y ça revient au portrait de phase dans (x,x'). Dans le cas général c'est moins détaillé que le portait de phase mais ça permet déjà de visualiser un certain nombre d'informations sur le comportement de ton système ; notamment comme l'a dit aviateur de voir les points d'équilibre, leur nature et les principaux régimes possibles (états libres, états liés, restrictions sur l'espace qui peut être "exploré" par une trajectoire donnée, etc).

Tu peux réecrire les lignes de niveau sous la forme , ça se trace bien.

Edit : au temps pour moi je suis allé trop vite en lisant les notations. J'ai trop l'habitude de travailler avec des notations du type qui font explicitement apparaître le lien entre les variables et leur dérivée. Du coup c'est bien du portrait de phase dont on parle, l'espace des phases est le plan (x,y) et le système physique sous-jacent a un seul degré de liberté (x).

Aispor
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Re: Système Hamiltonien

par Aispor » 12 Mar 2019, 00:18

Re !
Merci à vous deux pour vos réponses.
En effet il y a 3 points d'équilibre qui me donnent

Image

Malheureusement il n'y a pas de question supplémentaire dans l'exercice ^^.

J'ai tracé les courbes sur géogebra pour plusieurs valeurs de H :

Image

Et du coup pour l'étude à la main je vais étudier la fonction proposée =).

Quand à la terminologie sur le "portrait de phase" moi aussi ça m'avait fait bizarre la première fois, mais on le défini comme "L'espace décomposé en les différentes trajectoires"
Ce qui n'est pas vraiment ce que l'on voit en physique comme avec le pendule simple par exemple où les coordonnées sont (théta, théta-point). Mais enfaite on a fait un exercice pour voir que c'était la même idée qui était derrière ^^.

Merci ! =)

aviateur
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Re: Système Hamiltonien

par aviateur » 12 Mar 2019, 12:39

Bonjour
C'est pas mal tes dessins. A la limite on s'en fout, qu'il n'y ait pas d'autres questions.
On est capable de se les poser nous mêmes.
D'abord à cause des symétries, ce qu'il se passe en en (-1,0) c'est pareil pour (1,0).

Alors les questions sont : si la condition initiale est proche de (0,0), qu'est ce qu'il va se passer?

Même question si on est proche de (1,0)?

Autre question. Tu as une condition initiale donnée. Qu'est ce qu tu fais pour étudier le problème?

Aispor
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Re: Système Hamiltonien

par Aispor » 12 Mar 2019, 12:55

Re !
Si je pars au voisinage de (0,0), je suivrais une trajectoire circulaire centrée en (0,0).
Et au voisinage de (0,1) j'aurais envie de dire que je suis les trajectoires que j'ai dessiné ^^
Partant de (x,y) étant tous les deux assez grands, je suis une ligne qui tend vers l infini du signe de (x,y) et d'un certain taux d'accroissement.

Pour ce qui est du reste, je trouve ça compliqué sans étudier la courbe dont l'on a parlé.

Après l'avoir tracé, je me rend compte que les 3 points singuliers permettent de donner l'intuition sur l'allure du portrait de phase. Mais comment justifier que l'intuition peut être bonne ^^

aviateur
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Re: Système Hamiltonien

par aviateur » 12 Mar 2019, 14:12

Bonjour
Oui c'est ça . Circulaire disons quasi circulaire.. Le dessin est très parlant.

 

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