Dynamique

[Mister Red]

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour un exercice de dynamique.

Voici l'énoncé :
"On cherche à lancer une balle par dessus un mur. Il a une hauteur de hm et est situé à une distance a. A partir d'une hauteur b, on communique une vitesse V0 à la balle inclinée d'un angle ALPHA par rapport à l'horizontale. On note h = hm - b.

1/ Déterminer la vitesse V0 minimale nécessaire au franchissement pour un angle ALPHA donnée.
2/ Lorsque ALPHA varie, quelle est la plus petite valeur de V0 ? Quel est l'angle de tir correspondant ?
3/ Montrer qu'en dessous une certaine valeur de l'angle de tir, la balle ne franchit jamais le mur.



Je suis totalement perdu. J'ai absolument besoin de votre aide. Merci !

[Black Jack]

Dans un référentiel terrestre,

Commence par définir un repère d'espace et une horloge adéquats à l'étude du problème.

a) Repère d'espace :
Origine du repère : ...
Axe des abscisses : ...
Axe des ordonnées : ...

b) Horloge.
Definir l'instant t = 0 et préciser l'unité de mesure du temps (ou des durées)(par exemple (s))

Ecrire les équations des coordonnées (x ; y) de la balle en fonction du temps ...
x(t) = ...
y(t) = ...

...

:zen:

[Mathusalem]

Je suis totalement perdu. J'ai absolument besoin de votre aide. Merci !

Prends une balle, un mur, et fais des mesures

À la rigueur, fais un schéma.

Si tu as un angle donné pour la première partie, tu peux écrire la vitesse horizontale, et verticale ( sans oublier la gravité ! ). Tu sais le temps que met la balle à arriver au mur, vu qu'il est placé à une distance [a] horizontalement. A partir de là, tu réfléchis

[Mister Red]

En fait pour la première question, je dis que la vitesse minimale pour franchir le mur sera équivalent à "la trajectoire aura pour sommet le haut du mur".

Je trouve après les calculs que V0(min)=(sqrt(2gh))/sinALPHA

Est-ce bien cela ?

Pour répondre à Black Jack je trouve x(t)=V0.cosALPHA.t
y(t)=-0.5.g.t² + V0.sinALPHA.t


Par contre si ALPHA varie je ne vois pas comment faire...

[Black Jack]

En fait pour la première question, je dis que la vitesse minimale pour franchir le mur sera équivalent à "la trajectoire aura pour sommet le haut du mur".

Je trouve après les calculs que V0(min)=(sqrt(2gh))/sinALPHA

Est-ce bien cela ?

Pour répondre à Black Jack je trouve x(t)=V0.cosALPHA.t
y(t)=-0.5.g.t² + V0.sinALPHA.t


Par contre si ALPHA varie je ne vois pas comment faire...

Tu dois préciser quel repère tu as choisi.
Origine ...

C'est seulement alors qu'on saura si tes équations sont ou non correctes.

Une fois cela fait :

Eliminine t entre les 2 équations que tu as trouvé.

Tu auras alors l'équation de la trajectoire de la balle sous forme y = f(x) dans le repère défini.

Il est alors facile d'écrire que la balle passera juste au ras du haut du mur si les cordonnées du haut du mur satisfont l'équation y = f(x).

Tu auras alors une relation liant alpha et Vo et tu pourras trouver Vo en fonction de l'angle alpha, atention aux nombres de solutions ...

:zen:

[Mister Red]

J'ai choisi comme repère le repère dont le centre 0 est le centre de la balle, l'axe vertical (donc parallèle au mur) et l'axe x horizontale. Le vecteur V0 fait donc un angle alpha avec l'axe x.

Ensuite avec les équations horaires que j'ai trouvé, qui je pense sont bonnes, j'élimine t :

t= x(t)/[V0.sin(alpha)]
d'où y(t) = -0.5.g.[x²/(V0²cos²alpha)] + tanalpha.x


On remplace par les coordonnées du mur (a;h)

h = -0.5.g.[a²/(V0²cos²alpha)] + tanalpha.a
Ainsi nous avons :
V0=(a/cosalpha).sqrt[(g/2).(a.cotanalpha - 1/h)]

Pourquoi faire attention aux nombres de solutions ?
Ça c'est donc la vitesse minimale pour le franchissement du mur avec un angle alpha donné ?

Merci beaucoup Black.

Et pour un angle alpha qui varie ? On commence par quoi ?

[Black Jack]

J'ai choisi comme repère le repère dont le centre 0 est le centre de la balle, l'axe vertical (donc parallèle au mur) et l'axe x horizontale. Le vecteur V0 fait donc un angle alpha avec l'axe x.

Ensuite avec les équations horaires que j'ai trouvé, qui je pense sont bonnes, j'élimine t :

t= x(t)/[V0.sin(alpha)]
d'où y(t) = -0.5.g.[x²/(V0²cos²alpha)] + tanalpha.x


On remplace par les coordonnées du mur (a;h)

h = -0.5.g.[a²/(V0²cos²alpha)] + tanalpha.a
Ainsi nous avons :
V0=(a/cosalpha).sqrt[(g/2).(a.cotanalpha - 1/h)]

Pourquoi faire attention aux nombres de solutions ?
Ça c'est donc la vitesse minimale pour le franchissement du mur avec un angle alpha donné ?

Merci beaucoup Black.

Et pour un angle alpha qui varie ? On commence par quoi ?

Je n'ai pas tout vérifié mais :

2)

Il me semble qu'à partir de ce que tu as trouvé, soit : h = -0,5.g.[a²/(V0²cos²(alpha))] + tan(alpha).a

On arrive à

Vo = (a/cos(alpha)) * racine((g/2)/(a.tan(alpha) - h))

Il suffit alors de trouver la valeur de alpha qui rend Vo minimum.

Soit étudier la fonction f(x) = (a/cos(x)) * racine((g/2)/(a.tan(x) - h))

Et determiner la valeur de x (angle) qui rend f(x) min et la valeur de ce min (ce sera le Vo correspondant).

Les valeurs de x et de Vo à trouver dépendent évidemment de a et de h.
*********
3)

L'angle min possible est trouvé en exprimant que la quantité sous le radical dans Vo = (a/cos(alpha)) * racine((g/2)/(a.tan(alpha) - h)) ne peut pas être négative ...

:zen:

[Mister Red]

Ah oui d'accord je comprends mieux maintenant. Mais qu'entends-tu par étudier la fonction ? Car je tombe sur une dérivée encore plus dure que la fonction avec des sin, cos et tan de partout. Il m'est impossible d'étudier son sens de variation.

As-tu un moyen efficace ?

[Black Jack]

En sortant toutes les constantes hors de l'expression de f(x) et en tenant compte que la quantité sous le radical doit être > 0 et ...

Le min de f(x) est pour la même valeur de x qui rend min g(x) = 1/V(cos²(x).(a.tg(x) - h))

g(x) et donc f(x) aura son min lorque h(x) = cos²(x).(a.tg(x) - h) sera max (pour x dans ]atan(1/2) : Pi/2[)

La dérivée de h est facile mais je ne pense pas qu'il est facile d'en tirer la valeur de x qui l'annulle du moins littéralement.

Si on connait les valeurs numériques de a et h, alors cela devient plus facile.
**********
Attention que je n'ai pas vérifié les équations et qu'une erreur reste possible.

:zen:

[Mister Red]

Non les valeurs de a et h ne sont pas données... Par contre je ne comprends pas trop ton raisonnement, je vois surtout que cela nous mène aussi à une dérivée difficile à résoudre. Merci pour ton aide !

Par contre, pour la question 1 : "1/ Déterminer la vitesse V0 minimale nécessaire au franchissement pour un angle ALPHA donnée."

pourrais-tu vérifier si mon raisonnement est juste stp :
Je dis que la vitesse minimale pour franchir le mur (pour un angle ALPHA donnée) équivaut à dire que la trajectoire aura pour sommet le haut du mur.
Or au sommet Vz=0 d'où zpoint=0

Je remplace T en fonction de ALPHA dans Vz et je trouve :
V0(min)=(sqrt(2gh))/sinALPHA

[Black Jack]

Non les valeurs de a et h ne sont pas données... Par contre je ne comprends pas trop ton raisonnement, je vois surtout que cela nous mène aussi à une dérivée difficile à résoudre. Merci pour ton aide !

Par contre, pour la question 1 : "1/ Déterminer la vitesse V0 minimale nécessaire au franchissement pour un angle ALPHA donnée."

pourrais-tu vérifier si mon raisonnement est juste stp :
Je dis que la vitesse minimale pour franchir le mur (pour un angle ALPHA donnée) équivaut à dire que la trajectoire aura pour sommet le haut du mur.
Or au sommet Vz=0 d'où zpoint=0

Je remplace T en fonction de ALPHA dans Vz et je trouve :
V0(min)=(sqrt(2gh))/sinALPHA

Suppose que le tir soit vertical (soit alpha = Pi/2), il est évident que la balle retombera d'où elle est partie quelle que soit soit Vo et ne franchira pas le mur.

Et toi tu écris V0(min)=(sqrt(2gh))/sinALPHA
Donc si alpha = Pi/2, tu trouverais V0(min)=(sqrt(2gh))

C'est manifestement faux.
********
Toujours sans avoir vérifié les équations , si tu trouves (voir un des messages précédents) que :Vo = (a/cos(alpha)) * racine((g/2)/(a.tan(alpha) - h))

C'est valable pour un alpha donné (pour autant que la quantité sous le radical soit positive)

Et c'est valable aussi lorsque alpha varie pour trouver le alpha qui donne Vo min, mais là, on est parti pour la dérivée ...

:zen:

[Benjamin]

Par contre, pour la question 1 : "1/ Déterminer la vitesse V0 minimale nécessaire au franchissement pour un angle ALPHA donnée."

pourrais-tu vérifier si mon raisonnement est juste stp :
Je dis que la vitesse minimale pour franchir le mur (pour un angle ALPHA donnée) équivaut à dire que la trajectoire aura pour sommet le haut du mur.
Or au sommet Vz=0 d'où zpoint=0

Au sommet, tu n'as pas vz=0. Et il n'est pas du tout nécessaire de dériver quoi que ce soit.

Tu exprimes effectivement x(t) et y(t). Tu trouves le temps tm pour lequel la balle arrive au niveau du mur.

A quelle condition la balle franchie le mur ? Si y(tm).......
Tu arrives à une inégalité, d'où il faut isoler vo.

[Black Jack]

Au sommet, tu n'as pas vz=0. Et il n'est pas du tout nécessaire de dériver quoi que ce soit.

Tu exprimes effectivement x(t) et y(t). Tu trouves le temps tm pour lequel la balle arrive au niveau du mur.

A quelle condition la balle franchie le mur ? Si y(tm).......
Tu arrives à une inégalité, d'où il faut isoler vo.

C'est vrai pour la question 1, je l'avais précisé.

Par contre ,après, on demande (bien que pas très clairement) quel est l'angle alpha qui va donner un Vo minimum ...

:zen:

[Benjamin]

Oups, autant pour moi. Désolé.
N'ayant pas les formules solutions, je ne sais pas si la solution est évidente, ou si il faudra dériver.

[Black Jack]

Dans mon message 9, j'ai écrit :

g(x) et donc f(x) aura son min lorque h(x) = cos²(x).(a.tg(x) - h) sera max (pour x dans ]atan(1/2) : Pi/2[)

on a donc h(x) = a.sin(x).cos(x) - h.cos²(x)
h(x) = (a/2).sin(2x) - h.cos²(x)

La dérivée est très facile et trouver la valeur x qui rend h(x) maximum est facile ...

:zen:

[Mister Red]

J'ai pas très bien compris le système des fonctions f,g et h. Pourrais-tu me re-expliquer stp ?

[Black Jack]

J'ai pas très bien compris le système des fonctions f,g et h. Pourrais-tu me re-expliquer stp ?

On a Vo = (a/cos(alpha)) * racine((g/2)/(a.tan(alpha) - h))

Il faut trouver alpha pour avoir le min de Vo.

Cela revient à étudier la fonction

f(x) = (a/cos(x)) * racine((g/2)/(a.tan(x) - h))
Et trouver la valeur de x qui la rend minimum

Comme a et g sont des constantes et que cos(x) > 0 dans le cas de l'exercice, on a:

f(x) = K * racine(1/(cos²(x).(a.tan(x) - h))) avec K une constante.

Pour que f existe, il faut que cos²(x).(a.tan(x) - h))) > 0

f(x) sera minimum pour la même valeur de x qui rend cos²(x).(a.tan(x) - h) maximum.

Donc, il suffit de trouver la valeur de x qui rend h(x) = cos²(x).(a.tan(x) - h) maximum.
Cette valeur de x est aussi celle qui rend f(x) minimum.

Donc on étudie la fonction h(x) = cos²(x).(a.tan(x) - h)

Qui est équivalente à h(x) = a.sin(x).cos(x) - h.cos²(x)
h(x) = (a/2).sin(2x) - h.cos²(x)

Et il est facile de trouver h'(x) = ...
Et de trouver la valeur de x qui la rend max ...

:zen:

[Mister Red]

Merci énormément Black Jack pour cette grosse démarche que je n'avais pas compris, je pense en fait que je ne'aurais pas pu trouver ça seul. Par contre le seul inconvénient, c'est que je trouve une dérivée h strictement positive. h sera donc strictement croissante et son maximum se trouvera à Pi/2. C'est tout à fait illogique car si on tire à la verticale, peut importante la vitesse, la balle ne franchira pas le mur... Me trompe-je ?

[Black Jack]

Merci énormément Black Jack pour cette grosse démarche que je n'avais pas compris, je pense en fait que je ne'aurais pas pu trouver ça seul. Par contre le seul inconvénient, c'est que je trouve une dérivée h strictement positive. h sera donc strictement croissante et son maximum se trouvera à Pi/2. C'est tout à fait illogique car si on tire à la verticale, peut importante la vitesse, la balle ne franchira pas le mur... Me trompe-je ?

h(x) = (a/2).sin(2x) - h.cos²(x)

h'(x) = a.cos(2x) + 2h.sin(x).cos(x)
h'(x) = a.cos(2x) + h.sin(2x)

h'(x) = 0 pour a.cos(2x) + h.sin(2x) = 0
soit pour tan(2x) = -a/h

Or on sait (à cause de la racine carrée dans la fonction d'origine) que:
a.tan(x) - h doit être > 0
--> tan(x) > h/a
x > arctan(h/a)
et donc arctan(h/a) < x < Pi/2

Donc tan(2x) = -a/h impose 2x = Pi - arctan(a/h)
x = Pi/2 - (1/2).arctan(a/h)

Signe de h'(x) sur ]arctan(h/a) ; Pi/2 - (1/2).arctan(a/h)[ ...
Signe de h'(x) sur ]Pi/2 - (1/2).arctan(a/h) ; Pi/2[ ...
...

Tu dois arriver à conclure qu'il y a un max de h(x) pour x = Pi/2 - (1/2).arctan(a/h)
... Et donc un min de f(x) pour cette même valeur de x.


:zen:

[Mister Red]

Je n'ai pas compris comment tu fais pour passer de :

- acos2x+hsin2x=0 à tan2x=-a/h

- tan(2x) implique que 2x=Pi - arctan(a/h)


En tout cas merci pour ton aide Black.