[Ts] Vérification récurrence f(^n) (x) = cos (x+nπ/2)

[Alegs]

Bonjour à tous et à toutes!!

Voilà: je suis en 2ème année de médecine et j'ai proposé mon aide à une jeune fille de terminale, mais elle a tout particulièrement besoin d'aide en maths, cela fait 3 ans que je n'y ai pas touché, et je n'ai eu que 13/20 à mon bac de maths...

J'ai toujours fait mes maths plus ou moins instinctivement, et là j'ai fait ce que j'ai pu en cherchant aussi des cours et des rappels sur le net mais ça coince vraiment au bout d'un moment!!

Ce serait gentil de me tirer de ce mauvais pas, je n'attends pas nécessairement (voir même surtout pas) la solution de l'exercice mais surtout un coup de pouce ou des explications (vu que je ne suis moi même pas sensé balancer la réponse direct mais prendre au moins 3h pour expliquer ça...)

Si je pouvais avoir de plus la "formulation mathématique" qui accompagne chaque raisonnement, ça serait génial. :zen:

L'énoncé:

Soit la fonction f définie sur R par : f(x) = cos x.
Démontrer par récurrence que : Pour tout entier n, f(^)(x) = cos (x + n;)/2)
(On rappelle que f(^) désigne la fonction dérivée nième de la fonction f et que la dérivée 0ième de la fonction f est la fonction f : f(^) = f )

Ce que j'ai fait moi:
(il faut qu'ils fassent ça en 3 étapes: initiation - hypothèse de récurrence et conclusion)

1°) Vrai pour un entier quelconque ?
Pour n = 0:

f(^n)(x) = cos (x+n;)/2)
f(^0)(x) = cos (x+0;)/2)
f(^0)(x) = cos (x)

Pour tout entier naturel n, appelons S(n) la proposition f(^n)(x) = cos (x+n;)/2)
1°) Vérifions que la proposition S(0) : f(^n)(x) = cos (x+n;)/2) est vraie.
S(0) = cos x d’après l’énoncé ; f(^0)(x) = cos (x+0;)/2) donc f(^0)(x) = cos (x)
La proposition S(0) est vraie.


2°) Supposons que la proposition S(n) : « f(^n)(x) = cos (x+n;)/2)» est vraie pour un certain entier naturel n et démontrons que la proposition f(^(n+1)) (x) = cos (x+(n+1) /2) est vraie.


Et là j'envisage 2 solutions:

1) Soit je fais le tour du cercle trigo dans le sens anti-horaire:

f^(n+1) (x) = (cos (x+n /2))’
= (cos (x + n /2))’
= - sin (x + n /2)
= - sin (x + (n-1) /2 + /2)
= - cos (x + (n-1) /2)
= - cos (x + (n-2) /2 + /2)
= sin (x + (n-2) /2)
= sin (x + (n-3) /2 + /2)
= cos (x + (n-3) /2)

2) Soit je le fais dans le sens horaire:
f^(n+1) (x) = (cos (x+n /2))’
= (cos (x + n /2))’
= - sin (x + n /2)
= - sin (x + (n+1) /2 - /2)
= cos (x + (n+1) /2)



Après par contre je ne sais pas quoi faire... Je suis bien retombé sur un cos et j'ai n+1 dans ma 2ème version... Est ce que ça suffisait pour prouver la récurrence?

Merci pour toute aide m'aidant à conclure, ou m'indiquer une erreur, ou au moins qui reformule ce que j'ai fait d'une meilleure façon :hein: :we:

[uztop]

Bonjour,

j'ai l'impression que tu es train de te compliquer la vie.
Dans cet exercice, il suffit d'utiliser la formule suivante, qui est connue en terminale:

[Alegs]

Ah d'accord!!
Donc si je comprends bien, on pourrait s'en tirer en utilisant ces 2 propriétés :

- D'une part on sait que la dérivée du cosinus est égale au sinus négatif.

- D'autre part,

Donc la dérivée du cosinus est égale au cosinus de (x + pi/2)! :we:

Merci beaucoup Uztop!!