Triangles semblables

[Anonyme]

Bonjour, j'ai un exerice a faire sur les triangles semblables mais j'y comprend rien ! J'ai jamais rien compris a la géométrie, et pour démontrer ^^



On considère un trapèze ABCD de bases [AB] et [CD], et de hauteur h.
O est le point d'intersection de ses diagonales.
On appelle A' le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABD et B' le pied de la hauteur issue de B dans le triangle BAC.
On se propose de démontrer que les triangles BDB' et ACA' sont semblables.

( Voir image ) : http://www.servimg.com/image_preview.php?i=3&u=11064454

1) A) En écrivant de deux manières différentes l'aire du triangle ABD et l'air du triangle BAC, démontrer que :
AB x h = BD x AA' = AC x BB'

B) En déduire que : BD / AC = BB' / AA'

2) Démontrer que les angles DBB' et CAA' sont de même mesure.

3) Conclure

4) Que peut-on dire des triangles BDB' et ACA' si le trapèze ABCD est isocèle ? On justfiera la réponse.

[armor92]

Bonsoir,

1) A)On peut écrire de deux manière différente l'aire du triangle ABD.

La hauteur du triangle ABD correspondant à la base AB est h.
La hauteur correspondant à la base DB est AA'.

Aire(ABD) = AB * h / 2 = BD AA' / 2

La hauteur du triangle BAC correspondant à la base AB est h.
La hauteur correspondant à la base AC est BB'.

Aire(ABC) = AB * h / 2 = AC BB' / 2

On a donc prouvé les égalités : AB h = BD AA' = AC BB'

B) De l'égalité BD AA' = AC BB', on déduit l'égalité : BD/AC = BB' AA'

2)
On démontre que les deux triangles OAA' et OB'B ont des angles semblables.
angle(AOA') = angle(B'OB)
angle(OA'A) = Pi/2 = angle(BB'O)
La somme des angles d'un triangle vaut Pi
angle(AOA') + angle(OA'A) + angle(A'AO) = angle(B'OB) + angle(BB'O) + angle(OBB') = Pi
On en déduit : angle(A'AO) = angle(OBB')
angle(A'AO) = angle(CAA') et angle(OBB') = angle(DBB')
D'où finalement : angle(CAA') = angle(DBB')