[ fini ] Moyennes et Triangles Semblables (2nd)

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Ma petite soeur a un devoir sur les triangles semblables, je n'est pas fait de seconde bien qu'en terminal, je ne suis pas sur de raisonnement a suivre ( la c'est le moment ou je dit que si je trouve pas la solution je ne vais pas dormir... :hein: ) .J'aimerais avoir quelque détails ou quelque notions voici l'intitulé:

TRIANGLES SEMBLABLES ET MOYENNES


a et b deux réels strictement positifs, on apelle :
° moyenne arithmétique de a et b, le nombre a + b / 2
° moyenne géométrique de a et b, le nombre raciné carré ab
° moyenne harmonique de a et b, le nombre 2ab / a+b
° moyenne quadratique de a et b, le nombre racine carré a² + b² / 2

[ Q:1] j'ai du mal a me faire une représentation géométrique des différentes moyennes, qu'est ce qui les différencies ?.

On se propose de démontrer géométriquement la propriété P suivante :
pour tous réels a et b strictement positifs,


2ab / a + b plus petit ou égal a racine carré ab plus petit ou égal à a+b / 2 plus petit ou égal a² + b² / 2
Pour cela, on considère deux nombres réels a et b tels que : 0 < a < b
On construit les points C, B, D alignés dans cet ordre tels que : CB =a et BD = b.
C1 et C2 sont les deux demi cercles de centre de milieu O du segment [CD] et de rayons respectifs OC et OB.

Questions :


1 ) Démontrer que : OM = (a + b) / 2

2) c) Démontrer que les triangles ABD et CBA sont semblables.

d) démontrer que ABD et de CBA prouver que AB = racine carré ab.

3)dans les triangles AKB et ABO démontrer que AK = 2ab / a + b

4)Dans le triangle AOL, démontrer que AL² = a² + b² / 2

5) Démontrer par des considérations géométriques que :
2ab / a + b < racine carré ab < a + b / 2 < racine carré a² + b² / 2

Reponse : 1 ) Démontrer que : OM = (a + b) / 2

Je démontrer que om= (cb+bd)/2 .

2) c) Démontrer que les triangles ABD et CBA sont semblables.

Je démontre que ABD et CBA on un angle égaux et 2 coté proportionelles donc ils sont sembables.

d) En utilisant les rapports entre les longueurs des côtés de ABD et de CBA prouver que AB = racine carré ab.

j'utilise pythagore .

3)dans les triangles AKB et ABO démontrer que AK = 2ab / a + b

Ici il y a une longue transformation de formule.

4)Dans le triangle AOL, démontrer que AL² = a² + b² / 2

Q: Est'il raisonable d 'utiliser pythagore pour cette quéstion ?

Je voudrais savoir si les méthodes que j' ai utilisé etais les bonnes, n'eyant pas fait de seconde , je ne connais pas bien le chapitre sur les semblables.merci

[Huppasacee]

Bonsoir

Apparemment, la question 2d est une déduction de la question 2c
Il me semble donc que la démonstration pour les 2 triangles semblables ne fasse appel qu'aux angles égaux . Donc démontrer que 2 de leurs angles sont respectivement égaux ( pense aux angles inscrits , quelle est la valeur de l'angle CAD ? on en tire alors des égalités d'angles )

Après cette démonstrations, tu utilises la proportionnalité pour la 2d

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Il est possible de dire :

Hypothèse : soit un triangle CAD rectangle en B et BA(vecteur) et une hauteur.

Dans un triangle rectangle, la hauteur relative à l'hypoténuse détermine deux triangles semblables entre eux et chacun d'eux est semblable au premier triangle.

ccl: ABD et CBA sont semblables. ?

[Huppasacee]

Il est possible de dire :

Hypothèse : soit un triangle CAD rectangle en B et BA(vecteur) et une hauteur.

Dans un triangle rectangle, la hauteur relative à l'hypoténuse détermine deux triangles semblables entre eux et chacun d'eux est semblable au premier triangle.

ccl: ABD et CBA sont semblables. ?

Il est peut être possible de le dire, mais il est plus convaincant de le démontrer

(pense aux angles complémentaires , 2 angles sont complémentaires si leur somme fait 90°)
En fait , il faut l'applique dans CAD et hauteur AB

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Exercice fini , j'ai étudié les moyennes, c'etait pas trop dure une fois accroché http://fr.wikipedia.org/wiki/Moyenne_harmonique ( wikipédia est super :dodo: )

merci beaucoup Huppasacee


voici les différents modes de résolutions pour ceux voudraient le faire:


1. Moyenne arithmétique :
a. En fonction de a et b, exprimer le diamètre AB, ainsi que la longueur OA= OM.
b. Classer dans l’ordre croissant : a , b (Justifier géométriquement).

2. Moyenne géométrique :
En fonction de a et b, :
a. Par la trigonométrie.
b. Par les triangles semblables.
c. Comparer ba et oa (Justifier géométriquement).

3. Moyenne harmonique :
En fonction de BA et AO, exprimer OA = MO :
a. Par la trigonométrie.
b. Par les triangles semblables.
c. En déduire l'expression de KA en fonction de a et b .
d. Comparer (Justifier géométriquement).

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