Le Théorème de Ménélaüs d'Alexandrie

[elise.h21]

Bonjour, pourriez-vous m'aider svp pour cet exercice de maths :$ ?
Voici l'exercice :

On considère un triangle ABC. M, N et P sont trois points situés respectivement sur les droits (BC), (CA), (AB) et distincts des points A, B et C. On cherche à démontrer un résultat qui porte le nom d'un mathématicien et astronome grec du Ier siècle.

A. Construction et conjecture

1_ A l'aide d'un logiciel de géométrie, construire un triangle ABC ainsi que les droites (AB), (BC) et (AC).

2_ a) Construire un point P sur la droite (AB) distinct de A et B.
b) Justifier l'existence d'un réel a tel que le vecteur PA= a vecteur PB.
c) A l'aide d'un logiciel, faire afficher le coefficient a. Ce coefficient peut-il être négatif ? nul N égal à 1 ?

3_ a) Construire un point N de (AC) et un point M de (BC)à distincts des sommets du triangle ABC.
b) Comme précidemment faire afficher les coefficients b et c tels que :
vecteur NC = b vecteur NA et vecteur MB = c vecteur MC

4_ a) Faire afficer le produit abc
b) tracer la droite (PN)
c) les points P, N et M peuvent-ils être alignés ?
d) Peut-on conjecturer une relation entre l'alignement de ces points et la valeur de abc ?

B. Etude dans un cas particulier.

On suppose dans cette partie que c =1/2 et on rappelle que a et b sont deux réels différents de 1. Le plan est rapporté au repère ( A;B,C)

1_ a) A l'aide de l'égalité vecteur MB = 1/2 du vecteur MC et de la relation de Chasles, démontrer que vecteur AM = 2 vecteur AB - vecteur AC
b) En déduire les coordonnées de M dans le repère (A;B,C)
c) A l'aide de l'égalité vecteur PA = a vecteur PB et de la relation de Chasles, exprimer le vecteur PA en fonction du vecteur AB.
d) En déduire les coordonnées du point P dans le repère (A;B,C) et montrer que le vecteur PM a pour coordonnées ( 2-a/1-a ; -1 )

2_ a) Déterminer les coordonnées de N.
b ) En déduire le vecteur PN a pour coordonnées ( a/1-a ; 1/1/b ).

3_ a) Démontrer que les vecteurs PM et PN sont colinéaires si et seulement si, ab=2
b) La conjecture de la partie A est-elle démontrée dans ce cas particulier ?

C. Cas général

On admet que M a pour coordonnées ( 1/1-c ; -c/1-c )

1_ Déterminer les coordonnées du vecteur PM
2_ En déduire que les points P,N et M sont alignés si , et seulement si abc=1


Merci d'avance pour votre aide.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Oui, je pense qu'on peut vous aider, encore faudrait-il savoir comment.
Si c'est pour le faire à votre place, on sait pas, par contre si vous nous donnez l'adresse mail (par MP naturellement) à laquelle il faudra l'envoyer, là on peut.
Si c'est directement à votre professeur, c'est gratuit, s'il faut faire un certain nombre de copies pour camarades, là ça se négocie.
Dites ce que vous attendez de nous.